(2) 若一相是气相，可视为理想气体，另一相是凝聚相，则上式简化为：
u2?u1?L(1?RT)L。
????L?T(s?s)?h?h4. 试证明：在分界面是曲面的情形下，相变潜热仍为。
5. 在p?v图上范德瓦耳斯气体等温线的极大点与极小点连成一条曲线ACB，如右图所
3pv?a(v?2b)，并说明这条曲线分割出的区域I、II、III示。试证明这条曲线的方程为
的意义。
§3.4化学平衡
1. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有?1摩尔的理想气体，温度为T，压强为p1；另一边装有?2摩尔的理想气体，温度亦为T，但压强为p2。今将隔板抽去 (1) 试求气体混合后的压强；
(2) 若两种气体是不同的，试计算混合后的熵； (3) 若两种气体是全同的，试计算混合后的熵。
2. 求化学反应H2?I2?2HI?0的分解度与平衡恒量之间的关系。 3. 甲醇脱氢的反应方程为（气体）
量
CH3OH→HCHO?H2。已知在800K时，平衡恒
Kp?2.68
，求当甲醇的投料量为1摩尔时，氢的最大产量是多少?
第六章 统计物理学的基本概念
§6.1粒子运动状态的描写
1. 何谓经典粒子、量子粒子、全同粒子、定域子、非定域子？ 2. 何谓?空间、相格、相格数？
3. 试举例说明量子描述向经典描述过渡的条件。
4. 一光子的能量?与动量p的关系为??cp，其中c为光速。若光子在容器V中自由运动，试求其能量在?~??d?之间的量子态数（对应每一个动量p有两个偏振方向）。
??5. 已知二维谐振子的能量为
§6.2系统运动状态的描述
1122(px?py)?k(x2?y2)2m2，试求其态密度。
1. 何谓系统的微观状态、宏观状态？二者关系如何？
2. 何谓非简并性条件？非简并性条件成立时，费米子系统、玻色子系统与定域子系统与定域子系统三者的微观状态数有何关系？
§6.3 统计物理学的基本假设 1. 何谓等概率原理？其意义如何？
2. 何谓时间平均值？何谓统计平均值？二者有何关系？
第七章 最概然统计法
§7.1最概然统计法的理论基础
1. 何谓M?B分布、F?D分布？何谓最概然分布？
2. 在什么条件下量子系统可用经典方法计算？什么条件下F?D分布和B?E分布都过渡到M?B分布？
3. S?klnW的物理意义是什么？
4. 判定下列情况服从经典统计还是量子统计：
14?3(1) 锗中的自由电子，其数密度为10cm； 22?3(2) 银中的自由电子，其数密度为10cm。
5. 试计算氢和氧的简并温度，设其粒子数密度与标准条件下的粒子数密度 （2.687?10?25m?3）相同。
?6. 试问晶体中自由电子数密度为何值时，其电子气的简并温度等于0C？
7. 一个线性谐振子，其能谱为
?n?(n?)h?,n?0121,?，，且系统温度足够(h???kT）。
(1) 试求振子处于第一激发态与基态的概率之比； (2) 若振子仅占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。 8. 由单原子组成的顺磁气体，每单位体积中有
N0个原子，当温度不太高时可看成每个原子
都处于基态，其固有磁矩?在外磁场H中只能取平行于H和反行于H两种取向，气体服从
M?B分布。试计算：
(1) 一个原子处于?与H平行状态的几率； (2) 一个原子处于?与H逆平行状态的几率； (3) 一个原子的平均磁矩?；
(4) 写出气体的磁化强度，并讨论?H??kT和?H??kT两种极限情况。
9. 考虑两个晶格格点组成的系统，每个格点上固定一个原子（自旋为1），其自旋可以取三个方向，原子能量分别为1，0，-1，且能级无简并，两原子之间无相互作用。试求该系统的E和E。
10.试证明，对于理想的M?B、F?D、B?E气体，熵可分别代表为
2SM?B??k?f?lnf??SF?D??k?[f?lnf??(1?f?)ln(1?f?)]?SB?E??k?[f?lnf??(1?f?)ln(1?f?)]?。其中
f?是能级
??的量子态上的平均粒子数，
?s是对粒子的所有量子态取和。
11.一粒子数N很大的定域子系，处在外磁场H中，每个粒子的自旋为1/2。求系统的微观态数与总自旋Z分量MZ的函数关系，并确定系统的微观态数最大时的MZ的值。 12. 如图所示，一个一维的链由N??1个节组成，当节和链平行时，节的长度为a，当节和链垂直时，节的长度为零。每个节只有这两个非简并的状态，平均链长是(1) 用x表示出链的熵； (2) 求温度T、张力F和长度
Nx。
Nx之间的关系，设铰点可以自由活动；
(3) 什么情况下结论给出胡克定律？
13. 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的位置构成新的一层，晶体将出现缺位。晶体的这种缺陷称为肖脱基缺陷，如图所示。以N表示晶体中的原子数，n表示晶体中的缺位数。如果忽略晶体体积的变化，试由自由能取极小值的条件证明，当温度为T时，
n?Ne?w/kT(n??N) 其中W为原子在表面位置与下常位置的能量差。
14*. 考虑由N个没有相互作用的粒子组成的系统，每个粒子固定于某个位置并具有磁矩
?。整个系统处于外磁场B中，所以每个粒子总处于能量为?1?0或?2???2?B的两个
态中之一上。把这些粒子看成是互相可以区别的。 (1) 试写出
Sn的表达式，并求出使
Sn为极大的n值。
(2) 将系统的内能U视为连续值，试证明该系统可以处于负温度状态。 §7.2.麦克斯韦—玻耳兹曼分布的应用
1. 某遵从M?B统计分布的由N个粒子组成的理想气体系统，其粒子的能量动量关系为
??cp，在不考虑其内部结构的条件下，试求其热力学函数U、H、CV和Cp。
2. 某满足M?B统计的理想气体处在重力场中。设想一个很高的圆柱筒垂直地放在地面上，筒内粒子数为N。假设筒内的理想气体处于同一温度，试求该系统的内能和定容热容量。
3. 被吸附在表面上的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作二维的理想气体，试计算其摩尔热容，设表面的大小不变。
*4. 今有单原子分子组成的理想气体，遵从M?B分布律。若两分子的相对速度为
?8kT?????u??2??1。试计算u?u的平均值u，并将结果用?m??1/2表出。
5. 从一容器的狭缝中射出一分子束，试求该分子束中分子的最概然速率
vp和最概然能量
?p。求得的
vp和
?p与容器内的
vp和
?p是否相同？为什么？
* 6. 今有N个理想气体分子，盛在截截积为A、高度为h的容器内，处于重力场的作用下。试求：
(1) 分子数密度按高度的分布；
(2) 若在容器的顶部开一面积为?A的小孔，凌晨位时间内从小孔飞出的分子数是多少？
*7. 某遵从M?B分布的系统，其粒子的能量为试求粒子的平均能量。
??12p?bq42m，其中m、b为常数。
8. 假设双原子的振动是非简谐的，振动能量的经典表达式为
?v?12a2p?q?bq3?cq42?2
2a???式中后两项是非简谐的修正项，其数值远小于前面两项，，b、c均为常数。试证
2v22C?Nk?2NkT? U?NkT?NkT?V明：振动的内能和定容热容量分别为
?15b23c???232aa。 其中
*9. N个刚性双原子分子（例如O2）组成的理想气体，该分子有永久磁矩?，放在感应强度为B的磁场中，分子的能量为：
??试证明：
11?212222?(px?py?px)?p?p?????Bcos??22m2I?sin??
(1) 分子的配分函数为：
V(2?mkT)3/2Z?h3?1ey?e?y?2?24?kTI?yh??
其中I是分子的转动惯量；y??B/kT。 (2) 磁化强度（单位体积内的总磁矩之和）为
?ey?e?y1?m?N?L(y)?N??y???yy?e?e?
其中L(y)称为朗之万函数。
(3) 讨论高温(kT???B)和低温(kT???B)时的情况。
§7.3费米——锹拉克分布和玻色——爱因斯坦分布的应用