热力学与统计物理学思考题及习题

1. 在室温(kT?0.025eV)时,电子占据费米能级、比费米能级高0.1eV、比费米能级低

01.eV的态的概率分别为多大?

2. 若某能极高于费米能级0.1eV,温度从10K变到300K,问电子占有该能极的概率改

3变多少?

3. 试计算T?0K时自由电子气体中一个电子能量的相对涨落。

4. 设金属中的传导电子可以近似地看成理想费米气体。再设金属宏观静止,其费米能级为

?F。试在绝对零度下

2vvvxx(1) 计算和(x为电子速度的x分量);

(2) 证明总能量的平均值E是广延量。当总体积V固定时,E与总粒子数N并不成线性关系,为什么?

222245. 相对率性电子气体,其能量动量关系为??cp?mc(其中c为光速,m为电子质

量),试在T?0K时计算电子数密度,,用费米能级?F表示。

6. 某种样品中的电子服从F?D分布,其态密度有如下特征:??0时,g(?)?0;??0时,

g(?)?g0。设电子的总数为N。

?E(1) 试求T?0K时的化学势0和总能量0;

(2) 试证明系统的非简并条件为

T??N/g0k; 。

(3) 试证明当系统强烈简并(T很低)时

cv?T7. 考虑由N个无相互作用的电子组成的电子气体,假定电子是非相对论性的。试求出

T?0K时,与下列情形相应的费米能量:

(1) 粒子只能沿长度为L的线段运动;

(2) 粒子只能在一个面积为A的二维平面上运动。

8. 试导出二维空间黑体辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。 9. 宇宙中充满着T?3K的黑体辐射光子,这可以看作是大爆炸的痕迹。

(1) 试求出光子数密度依赖于温度T的解析表达式,可保留一个数值因子。 (2) 试近似计算T?3K时光子的数密度。

10. 如果声子服从F?D统计而非B?E统计,则固体热容量的德拜理论发生什么变化?在这样的假设下,试求远低于德拜温度和远高于德拜温度时热容与温度的关系(常数系数不必算出)。

11. 试证明:对玻色气体,pV?NkT?0;对费米气体pV?NkT?0。

第八章 系综统计法

§8.1基本概念

1. 何为?空间??空间与?空间有什么区别和联系? 2. 何谓统计系综?引入统计系综的意义何在?

3. 请读者举出自已所熟悉的例子,说明系综平均值等于时间平均值。

§8.2微正则系综

1. 试证明:当N很大时,系统的能量在E~E??E之间的状态数近似等于系统的能量小于、等于E状态数。

2. 考虑N个自旋为1/2,磁矩为?的定域粒子,粒子间相互作用很弱,将此系统置于磁场

H中。

(1) 求系统总能量为E时的微观态数?(E); (2) 求E与温度T的关系; (3) 在什么情况下出现负温度?

(4) 求系统的总磁矩M与E关系(用H和T将M表出)。

?33. 处于室温下的任一宏观系统,当其能量增加10eV时,系统所有可能的微观态数增加

的百分数是多少?若系统吸收一个可见光(波长为5?10cm)的光子,系统的状态数增加多少?

§8.3正则系综

1. 由N个单原分子组成的理想气体系统处于温度为T的平衡态,试求系统能量的最可几值。结果说明什么? 2. 对正则系统,试证明:

?5dln?(E)1?dEkT; (1)

s?klnZ?U?kln?(E)T,其中E?U。

(2) 当粒子数N很大时

3. 由两个相互独立的粒子组成的系统,每个粒子可处于能量分别为0,?和2?的任一状态中,系统与大热源平衡。试就下列诸情况写出系统的配分函数。 (1) 服从M?B统计,粒子可分辨; (2) 服从M?B统计,粒子不可分辨; (3) 服从F?D统计; (4) 服从B?E统计。

4. 一固体包含有N个自旋为1的非相互作用的核,每个核均可处在由量子数m?0,?1的三个态中的任一个态。由于固体内电荷与内部场的相互作用,一个核在m?1态或m??1态具有相同的能量?(??0),而在m?0态时其能量为零。试求系统的熵及?/kT??1的极限情况下系统的热容量。

5. 一高为h、底面积为A的柱形容器中,装有N个质量为m的单原子分子组成的理想气体,并处于重力场中,试由正则分布求系统的热容量。

6. 今有CO2和NO两种分子组成的混合理想气体处于平衡态,试用正则系综证明道尔顿分压定律 pV?(N1?N2)kT

其中p为混合理想气体的压强,N1和N2分别为两种分子的数目。

3??ap7. 设粒子的能量关系为。系统由N个这样的无相互作用的粒子组成,试求系统的

体积、压强和能量之间的关系。

u(r)??u08. 有某种气体,其两个分子之间的相互作用为 u(r)??(当r?a); (当

a?r?b);u(r)?0(当r?b)。试计算第二维里系数。

9. 很多脂肪酸分子分布于水面上,性质很象二维气体。试证明其状态方程可表为

pA?NkT[1?B/A],其中

分子间的相互作用势能。 §8.4巨正则系综

B??N(e?u(r)/kT?1)2?rdr?2,A为液面的面积,u(r)为两

1. 对于理想费米气体和玻色气体,试证明巨正则分布可以表为

?N,S?e(J??N?ES)/kT中的巨热力学势

J??kT?ln[1?e(???s)/kT]s

???i式中上行对应于费米子,下行对应于玻色子。和分别为粒子的能量和化学势,s为

对所有态求和。

2. 试从巨正则分布出发,证明理想费米气体的熵可以表为

s??k?[nilnni?(1?ni)ln(1?ni)]i

式中

ni是量子态i中的平均粒子数。

3. 设有一单原子理想气体与一固体吸附面接触而达到平衡。被吸附的分子能够在吸附面上

p2??0???0为常数)2m自由地作二维运动,其能量为,其中p为二维动量,0为束缚能(0。

假定经典极限条件成立,试求吸附面上单位面积被吸附分子的平均数与气体压强的关系。

第九章 涨落理论

§9.1围绕平均值的涨落

1. 计算围绕平均值的涨落问题时,大致要经过哪几个步骤?如何选取独立变数?

22(?T)(?p)2. 试用理想气体证明,强度量的均方涨落(如和)与粒子数N成反比,而广

延量的均方涨落(如(?E)和(?S))与粒子数N成正比,但二者的相对涨落均与N成反比。

22??p??2VST(?G)?kT?????V?S??Cp*3. 试证明:

2NS2T2??V????2??T?pCp2?kS2T2??V?2???V??Cp??T?p??。

*4 试从S(x)?klnW(x)出发导出高斯分布

W(x)dx?(2?x)§9.2布朗运动理论

2?1/2exp(?x22x2dx)

1. 试说明如何分别由(9.2.6)式和(9.2.20)式测得玻耳兹曼常数k和阿伏伽德罗常数NA。 2. 试说明如何由(9.2.19)式测得电子电荷e. §*9.3 涨落的相关性

1. 什么叫空间相关函数、时间相关函数? 其各自的性质如何? 2. 试求粒子数密度的空间相关函数和布朗粒子速度的时间相关函数。 4. 试说明什么叫涨落耗散定理。

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