上海市长宁区2017届高三二模数学试卷
2017.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合A?{x|x??1,x?R}，集合B?{x|x?2,x?R}，则A?B? 2. 已知复数z满足(2?3i)z?3?2i（i为虚数单位），则|z|? 3. 函数f(x)?sinx2cosx的最小正周期是
2cosxsinxx2y24. 已知双曲线2??1(a?0)的一条渐近线方程为y?2x，则a? 2a(a?3)5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为 cm3（结果精确 到0.1cm3）
?x?y?0?6. 已知x、y满足?x?y?2，则z?2x?y的最大值是
?x?2?0?7. 直线??x?t?1?x?3cos?（t为参数）与曲线?（?为参数）的交点个数是
?y?2?t?y?2sin?x??2,x?0?118. 已知函数f(x)??的反函数是f?1(x)，则f()?
2??log2x,0?x?19. 设多项式1?x?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n(x?0,n?N*)的展开式中x项的系数为
Tn，则limTn? n??n210. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p， 每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则
p?
11. 已知函数f(x)?x|x?a|，若对任意x1?[2,3]，x2?[2,3]，x1?x2，恒有
x1?x2f(x1)?f(x2))?，则实数a的取值范围为 22k12. 对于给定的实数k?0，函数f(x)?的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为半
x径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是 f(
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 设a、b?R，则“a?b?4”是“a?1且b?3”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 如图，P为正方体ABCD?A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个 面上的射影可能是（ ）
A. ①②③④ B. ①③ C. ①④ D. ②④ 15. 如图，AB为圆O的直径且AB?4，C为圆上不同于A、
????????????B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA?PB)?PC
的最小值是（ ）
A. ?4 B. ?3 C. ?2 D. ?1
16. 设x1、x2、?、x10为1、2、?、10的一个排列，则满足对任意正整数m、n，且
1?m?n?10，都有xm?m?xn?n成立的不同排列的个数为（ ）
A. 512 B. 256 C. 255 D. 64
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点. （1）求异面直线EF和AA1所成角的大小； （2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小.
18. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所
??（即?ACB?），墙AB的长度为6米（已有两面墙的可
33利用长度足够大），记?ABC??
?（1）若??，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）
示，已知已有两面墙的夹角为
4（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天 活动室面积即△ABC的面积尽可能大，问当?为何值时， 该活动室面积最大？并求出最大面积.
19. 已知抛物线y2?2px(p?0)，其准线方程为x?1?0，直线l过点T(t,0)(t?0)且与 抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.
????????（1）求抛物线方程，并证明：OA?OB的值与直线l倾斜角的大小无关；
（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d(t)，求d(t)的解析式.
20. 对于定义域为D的函数y?f(x)，如果存在区间[m,n]?D，其中m?n，同时满足： ① f(x)在[m,n]内是单调函数；② 当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]. 则称函数f(x)是区间[m,n]上的“保值函数”，区间[m,n]称为“保值区间”. （1）求证：函数g(x)?x2?2x不是定义域[0,1]上的“保值函数”； （2）若f(x)?2?11?2(a?R,a?0)是区间[m,n]上的“保值函数”，求a的取值范围； aax（3）对（2）中函数f(x)，若不等式|a2f(x)|?2x对x?1恒成立，求实数a的取值范围.
21. 已知数列{an}中，a1?1，a2?a，an+1?k(an?an?2)对任意n?N*成立，数列{an} 的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
1，求Sn； 2（3）是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列且任意相邻三项am、am?1、
（2）若a?1，k??am?2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由.