专题强化训练(十五)
一、选择题
1．(2019·资阳诊断)在数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝
??an＋2，n是奇数，?则数列{an}的前20项和为( ) ??2an，n是偶数
A．1121 C．1123
B．1122 D．1124
[解析] 由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前1×?1－210?10×920项和为＋10×1＋2×2＝1123.选C．
1－2
[答案] C
2
2．(2019·石家庄一模)已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)an＋1
2
－(n＋1)an＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )
1
A．an＝
n＋1n＋2
C．an＝2
2
B．an＝ n＋1D．an＝n
2
[解析] 因为(n＋2)a2n＋1－(n＋1)an＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1
－(n＋1)an]·(an＋1＋an)＝0.又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋an＋1n＋11)an＝0，即a＝，
n＋2n
anan－1a2nn－122
则当n≥2时，an＝··…·a1＝··…·1＝.a1·3·an－1an－2n＋1nn＋12又∵a1＝1也适合，∴an＝，故选B．
n＋1
[答案] B
3．(2019·福建三明联考)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1an
－1
＝an(n≥2)，则a2019的值为( )
A．3 1C．3
B．1 D．32015
[解析] (归纳猜想法)由已知，a1＝1，a2＝3，且an＋1an－1＝an(n≥2)，则a1a3＝a2，从而a3＝3，又a2a4＝a3，∴a4＝1，同理a511
＝3，a6＝3，a7＝1，a8＝3，那么数列{an}为周期数列，且周期为6，∴a2019＝a3＝3，故选A．
[答案] A
4．(2019·郑州一中摸底测试)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1
an＋1
＝－1，＝S，则S10＝( )
Sn＋1n
1A．10 C．10
1B．－10 D．－10
an＋1
[解析] 由＝S，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋
Sn＋1n
?1?111??－＝－1，所以数列S是以S＝a＝－1为首1－Sn＝Sn＋1Sn，即?n?Sn＋1Sn11
1
1
项，－1为公差的等差数列，所以S＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以
n11＝－10，所以S＝－10S1010，故选B．
[答案] B
5．(2019·湖南岳阳一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2111且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则bb＋bb＋…＋bb的值是( )
122320182019
4037
A．2019 2018C．2019
4035B．2018 2017D．2018 [解析] 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝
2
n－1
??1，n＝1，111
.bn＝log2an＝?当n≥2时，＝＝－
bb?n－1?nn－1?nn＋1?n－1，n≥2，
111111111
n，所以b1b2＋b2b3＋…＋b2018b2019＝1＋1－2＋2－3＋…＋2017－201814035
＝2－2018＝2018.故选B．
[答案] B
6．(2019·广东六校联考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋4nnan＝(2n－1)·3n.设bn＝a，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn<λ(λ为常
n
数，n∈N*)，则λ的最小值是( )
3
A．2 31C．12
9B．4 31D．18 [解析] a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，② ①－②得，nan＝4n·3n－1(n≥2)，即an＝4·3n－1(n≥2)．当n＝1时，
??3，n＝1，a1＝3≠4，所以an＝? n－1
?4×3，n≥2，?
?
b＝?n
?3
n
4
3，n＝1，
n－1，n≥2.
423n1123n
所以Sn＝3＋3＋32＋…＋n－1＝3＋30＋31＋32＋…＋n－1，③
33n－1n11123
3Sn＝9＋3＋32＋33＋…＋3n－1＋3n，④
11－3n
221111n2n
③－④得，3Sn＝9＋30＋3＋32＋…＋n－1－3n＝9＋1－3n， 3
1－3