数学复习精选
14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形
A组——题型分类练
题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、sin 240°＝________.
解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－答案：－3 2
5
,角α是第二象限角,则tan(2π－α)＝________. 13
5
,角α是第二象限角, 13
3. 2
2、已知cos α＝－
解析：因为cos α＝－
1212所以sin α＝,所以tan α＝－, 13512
故tan(2π－α)＝－tan α＝.
5答案：
12 5
2
3、已知θ是第三象限角,且sin θ－2cos θ＝－,则sin θ＋cos θ＝________.
5
22?sinθ＋cosθ＝1，?
解析：由?且θ为第三象限角, 2
??sin θ－2cos θ＝－5，
?得?7
cos θ＝－，?25
31答案：－ 25
24
sin θ＝－，
25
31故sin θ＋cos θ＝－. 25
题型二 三角恒等变换
1＋cos 2α11、若＝,则tan 2α＝________.
sin 2α21＋cos 2α2cos2αcos α1
解析：因为＝＝＝,
sin 2α2sin αcos αsin α22tan α44
所以tan α＝2,所以tan 2α＝＝＝－. 231－tanα1－44答案：－ 3
数学复习精选
π3πα－?＝,α∈?0，?,则cos α的值为________、 2、若sin??6?5?2?ππππ
0，?,∴α－∈?－，?. 解析：∵α∈??2?6?63?π3π4α－?＝,∴cos?α－?＝, 又∵sin??6?5?6?5
π?π?π?ππ?π433143－3????∴cos α＝cos??α－6?＋6?＝cos?α－6?cos－sin?α－6?sin＝×－×＝. 66525210答案：43－3
10
x2sin2－1
2π?
3、若f(x)＝2tan x－xx,则f??12?的值为________、
sincos22
x
1－2sin2
2π?2cos x24
解析：因为f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋＝＝,所以f??12?＝1sin xsin xcos xsin 2x
sin x2＝8. πsin
6
答案：8
π23?α－7π?的值是________、 α＋?－sin α＝4、已知cos?,则sin6??6??3π23α＋?－sin α＝解析：由cos?, ?6?3得
3323
cos α－sin α＝, 2234
即－
?3sin α－1cos α?＝2,即sin?α－π?＝－2.
?6?32?2?3
7ππ
α－?＝sin?α－－π? 所以sin?6???6?π2α－?＝. ＝－sin??6?32
答案：
3
πππ40，?,β∈?0，?,若sin?α＋?＝, 5、设α∈??4??2??6?5
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π1
β－?＝,则tan(2α＋β)的值为________、 tan??3?3πππ5π
0，?,所以α＋∈?，?. 解析：因为α∈??4?6?612?π4π3
α＋?＝,所以cos?α＋?＝, 又sin??6?5?6?5
πππ24 2α＋?＝2sin?α＋?cos?α＋?＝, 所以sin?3???6??6?25ππ7 2α＋?＝2cos2?α＋?－1＝－, cos?3???6?25π24
2α＋?＝－. 所以tan ?3??7ππ2α＋?＋?β－?, 又2α＋β＝?3??3??
?2α＋π?＋?β－π?? 所以tan(2α＋β)＝tan?3??3????
241
－＋7313
＝＝＝－.
π9?β－π?1＋24×12α＋?·1－tan?tan3?73??3?13
答案：－ 9
题型三 正弦定理和余弦定理 1、在△ABC中,a＝4,b＝5,c＝6,则sin Aa
解析：由正弦定理得＝,
sin Ccb2＋c2－a2
由余弦定理得cos A＝,
2bc∵a＝4,b＝5,c＝6,
sin 2A2sin Acos Asin A∴＝＝2··cos A sin Csin Csin C
222
45＋6－4＝2××＝1.
62×5×6
ππ2α＋?＋tan?β－?tan?3???3?
sin 2A
＝________. sin C
答案：1
2、在锐角△ABC中,AB＝3,AC＝4.若△ABC的面积为33,则BC的长是________、 113
解析：因为S△ABC＝AB·ACsin A,所以33＝×3×4×sin A,所以sin A＝,因为△ABC
222是锐角三角形,所以A＝60°,由余弦定理得,BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A,解得BC＝13.
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答案：13
3、已知在△ABC中,A＝120°,AB＝2,角B的平分线BD＝3,则BC＝________. ABBD
解析：在△ABD中,由正弦定理得＝, sin∠ADBsin A∴sin∠ADB＝
AB·sin A2＝,∴∠ADB＝45°, BD2
∴∠ABD＝15°,∴∠ABC＝30°,∠ACB＝30°, ∴AC＝AB＝2.在△ABC中,由余弦定理得 BC＝
AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝6.
答案：6
4、在斜三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若大值为________、
111
解析：由＋＝可得,
tan Atan Btan Ccos Acos Bcos C
＋＝, sin Asin Bsin C
sin Bcos A＋cos Bsin Acos C即＝, sin Asin Bsin Csin?B＋A?cos C
∴＝, sin Asin Bsin C即
sin Ccos C
＝,
sin Asin Bsin C
ab111
＋＝,则2的最tan Atan Btan Cc
∴sin2C＝sin Asin Bcos C. 根据正弦定理及余弦定理可得,
222a＋b－c
c2＝ab·,整理得a2＋b2＝3c2.
2ab
abab3ab3ab3∴2＝22＝2≤＝, ca＋ba＋b22ab2
3
当且仅当a＝b时等号成立、 3
答案：
2
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B组——高考提速练
π3π
－φ?＝,且|φ|<,则tan φ＝________. 1、已知cos??2?22π3－φ?＝sin φ＝, 解析：cos??2?2π1
又|φ|<,则cos φ＝,所以tan φ＝3.
22答案：3
3π1<2α<π?,tan(α－β)＝,则tan(α＋β)等于________、 2、已知sin 2α＝??5?22
43
解析：由题意,可得cos 2α＝－,则tan 2α＝－,tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝
54＝－2.
1＋tan 2αtan?α－β?
答案：－2
π
＋α?,则sin αcos α＝________. 3、已知sin(π－α)＝－2sin??2?π
＋α?, 解析：由sin(π－α)＝－2sin??2?得sin α＝－2cos α,所以tan α＝－2, 所以sin αcos α＝2
答案：－ 5
2
4、若tan β＝2tan α,且cos αsin β＝,则sin(α－β)的值为________、
3
2
解析：由tan β＝2tan α得,2sin αcos β＝cos αsin β,所以2sin αcos β＝,所以sin αcos β＝
31, 3
121
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.
3331答案：－ 35、若tan 2α＋
π1
α－?＝________. ＝3,则tan??4?cos 2α
tan α2＝＝－. 5sin2α＋cos2αtan2α＋1sin αcos α
tan 2α－tan?α－β?
1＋tan2α2tan α11?α－π?＝解析：由tan 2α＋＝3,得＋＝3,解得tan α＝.所以tan?4?cos 2α21－tan2α1－tan2α