七、二次函数综合题
第四课时——抛物线与与图形运动
【考点】
1． 根据函数解析式，结合抛物线性质，分析几何图形运动中的变量与不变量．
2． 利用抛物线的顶点、对称轴等，搞清图形在运动过程中有几种关键位置,然后逐个加以解决． 【要求】
1．能利用抛物线的性质，准确抓住运动图形的关键量与关键位置； 2．能利用代数方法讨论几何问题． 【例析】
2
例1（2015?淄博第24题,10分）（1）抛物线m1：y1=a1x+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表
x y1
… …
﹣2 ﹣5
﹣1 0
1 4
2 3
4 ﹣5
5 ﹣12
… …
设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为 （1，4） ，点C的坐标为 （0，3）
2
（1）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2= 12 ．
（2）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.
2解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x+b1x+c1得
，解得．
22
所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，则P（1，4），
当x=0时，y=3，则C（0，3）；
（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，
222
所以y2=（x﹣1）﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）﹣4=（﹣3﹣1）﹣4=12．
故答案为（1，4），（0，3），12； （3）存在．
2
当y1=0时，﹣x+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（0，3），
∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3， ∴CK∥AM，CK=AM，
∴四边形AMKC为平行四边形，
当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC=当抛物线m1沿水平方向向右平移此时K（﹣
，3）．
=
，则CK=
，
个单位，
个单位，此时K（
，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移
点评： 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题．
例2如图1，已知直线y??11x与抛物线y??x2?6交于A，B两点． 24（1）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（2）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． y y
P B B
x O O
A A
图1 12?y??x?6??x1?6?x2??4?4 解：（1）依题意得?解之得? ?y??3y?21?1?2?y??x??2图2
x
，?3，)B?(，4 2 ?A(6
作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55
?OM?15AB?OB? 22B C Ｅ O D 图1
过B作BE⊥x轴，E为垂足
M A x
OCOM5?，?OC?， 由△BEO∽△OCM，得：
OBOE4 同理：OD?，?C?，0?，D?0，? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)
52?5?4????5?? 2?5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5
5b?????b??2??2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?5． 21x?m2（2）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y??上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
1?y??x?m??2 ??
?y??1x2?6??4 ?y H P B G 121x?x?m?6?0 42 ?抛物线与直线只有一个交点，
O x
?????1?22???4?14(m?6)?0，
?m?254 ?P??23??1，4??
在直线GH：y??12x?254中， ?G??25??25??2，0??，H??0，4??
?GH?2545 设O到GH的距离为d，
?12GH?d?12?OG?OH125512525 ?2?4d?2?2?4
?d?525?AB∥GH， ?P到AB的距离等于O到GH的距离d． ?S1最大面积?2AB?d?12?55?552?1254 【练习】
1．已知抛物线y=x2—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长
度，得到一条新的抛物线. （1）求平移后的抛物线解析式;
（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;
(3)将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -ba个单位长度，试探索问题(2)． 1．解：(1) y?x2?4x?1 配方，得y?(x?2)2?3，
A 2 图