09 函数的周期性
知识梳理
1.周期函数的定义
对于函数y?f(x)，如果存在一个常数T?0，能使得当x取定义域内的一切值时，都有f(x?T)?f(x)，则函数y?f(x)叫做以T为周期的周期函数。
2.与周期相关的结论
(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)?a(x?R)； (2)周期函数的定义域是无界的；
(3)若T为y?f(x)的周期，则nT(n?Z且n?0)也是y?f(x)的周期
(4)若函数f(x)恒满足f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，a?b是它的一个周期； (5)若函数f(x)恒满足f(x?a)??f(x)(a?0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
推论：若函数f(x)恒满足f(x?a)??f(x?b)(a?b)，则f(x)是周期函数，2a?b是
它的一个周期；
（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即f(x?a)?f(x?b)?0型
(6)若函数f(x)恒满足f(x?a)?期；
1(a?0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周f(x)推论：若函数f(x)恒满足f(x?a)?它的一个周期；
(7)若函数f(x)恒满足f(x?a)??周期；
推论：若函数f(x)恒满足f(x?a)??它的一个周期；
1(a?b)，则f(x)是周期函数，2a?b是
f(x?b)1(a?0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个f(x)1(a?b)，则f(x)是周期函数，2a?b是
f(x?b)（6）（7）可概括为：“乘积为?1型”即f(x?a)?f(x?b)??1型
(8)若函数f(x)是偶函数，且关于直线x?a(a?0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
推论：若函数关于直线x?a,x?b(a?b)对称，则f(x)是周期函数，2a?b是它的一个周期；
(9)若函数f(x)是奇函数，且关于直线x?a(a?0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期；
推论：若函数关于点(a,0)、直线x?b(a?b)对称，则f(x)是周期函数，4a?b是它的一个周期；
(10)若函数f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a?0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
推论：若函数关于点(a,0)、(b,0)(a?b)对称，则f(x)是周期函数，2a?b是它的一个周期。 （8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称
中心，一条对称轴”型 （11）分式递推型：即函数f(x)满足f(x?a)?1?f(x?b)(a?b)
1?f(x?b)由f(x?a)?1?f(x?b)?1(a?b)得f(x?2a)?，进而得
1?f(x?b)f(x?2b)f(x?2a)?f(x?2b)??1，由前面的结论得f(x)的周期是T?4a?b
经典习题 （提示：本知识点常考小题，因此练习为主）
一. 选择题
1.设f?x?是???,???上的奇函数，f?x?2???f?x?，当0?x?1时，f?x??x，则
f?7.5??（ ）
A.0.5
B.－0.5 C.1.5
D.－1.5
2.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)?0，则方程f(x)=0在区间?0,6?内
解的个数的最小值是（ ）
A．5 B．4
C．3
D．2
3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ ）
A.?1 B.0 C.1 D.2
4. 设函数f(x)(x?R)为奇函数，且f(1)?（ ）
1,f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)等于25 D. 5 2A. 0 B. 1 C.
5. 设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y?f(x) 的图像关于直线x?3对称，则下面正确的结论是（ ）
A.f(1.5)?f(3.5)?f(6.5) B.f(3.5)?f(1.5)?f(6.5) C.f(6.5)?f(3.5)?f(1.5) D.f(3.5)?f(6.5)?f(1.5)
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)???log2(1?x),x?0，则f(2009)的值为
?f(x?1)?f(x?2),x?0( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)??f(x?)且f(?2)?f(?1)??1,f(0)?2,则f(1)?f(2)?…?f(2008)?f(2009)?（ ） A.?2
B.?1
C.0
D.1
8.定义在R上的函数f?x?是奇函数，又是以2为周期的周期函数,则f(1)?f(4)?f(7)? ( )
A.-1 B.0 C.1 D.4 9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在[?1,0]上单调递增，设
32a?f(3)， b?f(2)，c?f(2)，则a,b,c大小关系是( ) a?b?c B．a?c?b C．b?c?aA．
c?b?a D．
10. 设函数f?x?（x?R）是以3为周期的奇函数，且f?1??1,f?2??a，则( ) A. a?2 B. a??2 C. a?1 D. a??1 11. 函数f(x)既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在??1,0?
上是减函数，那么f(x)在?2,3?上是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.先减后增函数
12. 设偶函数f(x)对任意x?R，都有f(x?3)??1，且当x???时，3,?2?f(x)f(x)?2x，则f(113.5)?( )