高中数学北师大版必修4第二章《3.1数乘向量》省级名师
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【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能:
通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义,理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程,会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3.态度情感与价值观:
通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力,合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度,勇于创新的精神。
2学情分析
本节课是为高一XX班的数学教学而设计的,前面学生已经学完向量的加减运算,学生具备一定的独立思考,合作释疑的能力。因此,本节课采用“探究释疑”的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能达到预期的教学目的。
3重点难点
重点:掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。 难点:向量共线定理的探究及其应用。
4教学过程
4.1第一课时
4.1.1教学活动
活动1【讲授】数乘向量 (一)引入
1.复习向量的加法、减法,(温故而知新),采用提问的形式。
问题1:向量加法的运算法则? 问题2:向量减法的几何意义?
学生回答完毕后,教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。
向量的加法:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点)。 向量的减法: , 则 。(共起点,连终点,方向指向被减数)。
2.问题情境 :一质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用 表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用 来表示。这是何种运算的结果? 启发学生发现:这些公式都是实数与向量间的关系 3.【探究1】
已知非零向量 ,作出 和 ,你能说处他们的几何意义吗?
问题1:相加后,和的长度和方向有什么变化? 问题2:这些变化与哪些因素有关?
将学生分成两组,第一组: ;第二组: 。让学生在白纸上作出图像,并讨论两个问题。最后学生之间互相交流,总结结论。 生: 与 方向相同且 ; 生: 与 方向相反且 师:非常好!
教师通过多媒体,看长度和方向的图像变化形式。 (二)新课讲解
1.实数与向量的积的定义
请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数λ与向量 的积?启发学生从以下角度思考: 是向量?长度?方向?根据学生总结,让学生看大屏幕。
[文本框: 一般地,我们规定实数λ与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作: ,它的长度和方向规定如下: (1) (2)当λ>0时, 的方向与 的方向相同; 当λ<0时, 的方向与 的方向相反。 由(1)可知,当 或 时,] 2.实数与向量的积的运算律
【探究2】
问题一:求作向量 和 ( 为非零向量),并进行比较。
问题二:已知向量 、 ,求作向量 和 ,并进行比较。
(将全班划分为2个小组,组内同学展开讨论,提出方法并自主探究。教师在学生中进行巡视,了解学生的进展情况,并适时加以引导。在整个过程中,同学们都能积极思考问题,参与的热情很高。)
师:鼓励学生踊跃回答 生:结论: , 生:
类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律:
[文本框: 设 、 为任意向量, 、 为任意实数,则有: 结合律: 第一分配律: 第二分配律:]
为了降低难度,教科书不要求对三个运算律作出证明,只要求学生会用。 小注:实数与向量可以求积,但不能进行加减运算。 例1:计算(口答) (1) (2) (3)
设计意图:要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。教学中,不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点。 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式=
剖析:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 对于任意向量 、 及任意实数 、 ,恒有 。