数学参考答案
三角函数 1．解：（1）由正弦定理及2acosC?ccosA?b得，
AcosC?sinCcosA?sinB. 2sin 在?ABC中，A?B?C??，
?A?C???B，即sin(A?C)?sinB.
?2sinAcosC?sinCcosA?sin(A?C)?sinAcosC?sinB?sinAcosC?sinB
AcosC?0 ?sin 又?0?A??，0?C??，
?sinA?0. ?cosC?0.
?C??2.
（2）由（1）得C??2 ?sinA?sinB?sinA?cosA ?2sin(A? ?，?A?B??2，即B??2?A.
?4?)，0?A?3?. 4?2，
?4?A??4 ?当A??4时，sinA?sinB取得最大值2.
2．解：（1）f(x)?11?cos2x1sin2x?? 222
?12?(sin2x?cos2x)?sin(2x?) 224 由2x?
k???,k?Z.
4228k???,k?Z. ?f(x)的对称轴方程为x?28??k???得x? （2）由题意可设a?(m,0)则g(x)?2?sin(2x?2m?) 242?sin(???2m)?0， 24
又因为g(x)的图象关于点(即
?2,0)对称，则有
5?5?k??2m?k?,?m??,k?Z. 482
?a?5?k??,k?Z 82
所以当k?1时，?amin??8.
数列
1．证明：（Ⅰ）?Sn+1=3Sn+2,
∴Sn+1+1=3(Sn+1).
又?S1+1=3,
∴{Sn+1}是首项为3，公比为3的等比数列且Sn?3n?1,n?N*.
（Ⅱ）n=1时，a1=S1=2,
n>1时，an?Sn?Sn?1?(3n?1)?(3n?1?1)
?3n?1(3?1) ?2?3n?1.
故an?2?3n?1,n?N*.
2?3n?12?3n?111 （Ⅲ） ?bn?n???,?n?1?
(3?1)2(3n?1?1)(3n?1)3n?1?13n?1 ?b1?b2?...?bn?1111111?(1?2)?(2?3)?????(n?1?n) 23?13?13?13?13?13?1?111??n?1. 223?1(n?1)an?1an?1?n2?2n2．解：（１）????n?2. ?，nanann?1
由?nan?为等比数列，知?n?2与n无关，故??0.
当??0时，数列?nan?是以１为首项，以?2为公比的等比数列.
（２）当??3时，
(n?1)an?1?3n?2.
nan
取n为１，２，３，?,n?1，累乘得:
nan?1?4?7???(3n?5) （n?2）. 1a1
?a1?1,
?1?4???(3n?5)(n?2)，? ?an??n??1 (n?1).当n?2时，
an?1(3n?2)n??1?an?1?an. ann?1
而a4?50,a5?56,a6?80，?m?5
（３）当??0时，
an?1?2n??0， ann?1
说明an?1与an异号，此时不存在正整数N， 使得当n?N时，有an?1?an. 当??0时，必存在正整数N0（取大于
3?9?4?的正整数即可），
2?
使得当n?N0时，有
?n2?2nn?1?1，
即存在正整数N0，使得当n?N0时，有
an?1?1； an
因为存在正整数N，使得当n?N时，恒有an?1?an成立，
取N1为N0与N的较大者，则必存在正整数M?N1，使得当n?M时，an?0.
?存在正整数M，使得当n?M时，有an?0.
立体几何
1．证明：（1）连接AC11交B1D1于O1，连结AO1.
D1C1O1B1
在平行四边形AAC 11C中，C1O1?AO，1//AO，C1OA1?四边形AOC1O1为平行四边形.
D?C1O//AO1.
?C1O?平面AB1D1，AO1?平面AB1D1， ?C1O//平面AB1D1.
COBA （2）在直平行六面体AC1中，A1A?平面A1B1C1D1，
?A1A?B1D1.
?四边形A1B1C1D1为菱形， ?B1D1?AC11.
?AC11?AA1?A1，AC11?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1， ?B1D1?平面ACC1A1. ?B1D1?平面AB1D1，
? 平面AB1D1?平面ACC1A1. （3）过C作CH?AO1交AO1于H.
?平面AB1D1?平面ACC1A1，平面AB1D1?平面ACC1A1?AO1， ?CH?平面AB1D1.
?AH为AC在平面AB1D1上的射影. ??CAH是AC与平面AB1D1所成的角.
设AB?2，在菱形ABCD中，?DAB?60，
?D1A1HDAOBO1B1C1C?AC?23. 在Rt?AAO11中，AO1?7. zD1A1O1B1C1?AO1?CH?AC?OO1， ?CH?421. 7
DAOBCy
CH27. ??sinCAH?AC7x
??CAH?arcsin27. 7 （3）解法二：
OB,OC,OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连AC11交B1D1于O1，分别以
如图所示.
设AB?2，在菱形ABCD中，?DAB?60，
??AC?23,BD?2.
则A（0，?3，0），C（0，3，0）， ，O1（0，0，2）. B1（1，0，2）
?????????，AB1?（1，3，2）. ?AO1?（0，3，2）
设平面AB1D1的法向量n?（x，y，z），
???????n?AO1?0，则????? ??n?AB1?0.
??3y?2z?0， ????x?3y?2z?0.3?x?0.令y?3，则z??.
23n?（0，3，?）.
2设AC与平面AB1D1所成的角为?.
????n?AC?sin???????nAC623?214?27. 7
???arcsin27. 7PM2．解：（Ⅰ）∵平面PCBM?平面ABC，
AC?BC，AC?平面ABC,
=B．C 平面ABC?平面 PCBM ∴AC?平面PCBM.
A 又∵BM?平面PCBM, ∴AC?BM.
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1．连接AN、MN．
∵平面PCBM?平面ABC，
平面PCBM?平面ABC?BC，PC?BC．
∴PC?平面ABC．
∵PM//CN，PM=CN，
∴MN//PC,MN?PC，从而MN?平面ABC． 作NH?AB于H，连结MH， 则由三垂线定理知AB?MH．
从而?MHN为二面角M?AB?C的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴?AMN?60? ．
在?ACN中，由勾股定理得AN?2． 在Rt?AMN中，MN?AN?cotAMN?NCHB
2?36?． 33
在Rt?BNH中，NH?BN?sinABC?BN?AC15． ?1??AB55
6MN30?3?在Rt?MNH中，tanMHN? NH355故二面角M?AB?C的大小为arctan
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