专题一 三角函数
一、题之源：课本基础知识 1．角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角．
(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β＝2kπ＋α,k∈Z． 2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零．
180?π
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝?． ?π?°18011(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r,扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．
223．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 定义 y叫做α的正弦,记作sin x叫做α的余弦,记作cos α 三角函数线 有向线段MP为正弦线 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． sin α
(2)商数关系：tan α＝．
cos α5．六组诱导公式 组数 角 (k∈Z) 正弦 余弦 sin α cos α －sin_α －cos α －sin α cos_α sin α －cos α 一 α＋2kπ 二 π＋α 三 －α 四 π－α 五 π－α 2cos_α sin α 六 π＋α 2cos α －sin_α 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 α y叫做α的正切,记作tan xα
正切 口诀 tan α tan α －tan α －tan_α 函数名不变 符号看象限 6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 图象 y＝sin x y＝cos x y＝tan x {x|x∈R且x≠kπ＋定义域 R R π,k∈Z} 2R π 奇函数 函数名改变符号看象限 值域 周期性 奇偶性 －1,1] 2π 奇函数 π2kπ－,2kπ＋2－1,1] 2π 偶函数 单调性 π](k∈Z)为增；2kπ＋2π3π,2kπ＋](k∈Z)为22减 2kπ,2kπ＋π](k∈Z)为减；2kπ－π,2kπ](k∈Z)为增 ?kπ－π，kπ＋π?22??(k∈Z)为增 对称中心 对称轴 (kπ,0)(k∈Z) πx＝kπ＋(k∈Z) 2π(kπ＋,0) (k∈Z) 2x＝kπ(k∈Z) kπ(,0)(k∈Z) 2无 7．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0),x∈0,＋∞)表示一个振动量时 A 振幅 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ 8.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示： x ωx＋φ φ－ ω0 πφ－ 2ωωπ 2π－φ ωπ 3πφ－ 2ωω3π 22π－φ ω2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 二、题之本：思想方法技巧
1．要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角．
2．在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z),β＝k·360°＋(k∈Z)的写法都是不正确的．
3．一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷． 4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值,若含有参数,则要注意对可能情况进行分类讨论．
5．牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．
6．2kπ＋α表示与α终边相同的角,其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和,是π的整数倍时,要分类讨论．如：
(1)sin(2kπ＋α)＝sinα；
??sinα（k为偶数），
(2)sin(kπ＋α)＝?＝(－1)ksinα.
??－sinα（k为奇数）
π
2
7．在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
8．诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．
9．已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的基本关系式求解,一般分为三种情况：
(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一组解．
(2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解．
(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解．
10．计算、化简三角函数式常用技巧
(1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sinα,cosα的齐次分式问题,常采用分子分母同除以cosnα(n∈N*),这样可以将被求式化为关于tanα的式子． (2)巧用“1”进行变形,如1＝sin2α＋cos2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取．
(4)理解sinα±cosα,sinαcosα的内在联系,利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα,可知一求二． 常见结论：
①(sin??cos?)?1?sin2?; ②sin③sin④sin42??cos4???cos2?；
4??cos4??1?2sin2?cos2?；
2??cos4??1?sin2?cos2?；
12 ?；tan?sin2?12tan????.⑥tan?tan2?
⑤tan??
11．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法
三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时,要考虑全面,避免遗漏,既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．
(2)三角函数值域的求法
三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题,常用的方法为：化为代数函数的值域,也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． 12．判断三角函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下,需先对函数式进行化简,再判断其奇偶性． 13．求三角函数的周期
(1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于常见三角函数的周期来求．
(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ),2ππ
或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后,用基本结论T＝或T＝来确定；③根据图象来判断．
|ω||ω|⑶y?sinx?cosx,y?sinx?cosx的最小正周期都是
4424?。 214．三角函数的单调性
(1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法,参见“2.2函数的单调性与最大(小)值”．
(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解． 15．五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不易出错,且图形简洁．
(2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来． 16．根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
1)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
2)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离1
也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的个周期(借
4助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
ππ
峰点：ωx＋φ＝＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ.
22也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点． 升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
17.f(x)=Asin的图象关于直线x=t对称?f(t)=±A； （A?0，??0）（?x??）f(x)=Asin（A?0，??0）的图象关于点（t,0）对称?f(t)=0； （?x??）18．三角函数模型的三种模式
在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题,主要有以下三种模式：
①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题；