2008年交大冬令营数学试题2008.1.1
一．填空题
32x?11．若f(x)?x，g(x)?f?1(x)，则g()?_______．
52?12．函数y?x?1的最大值为__________． x2?83．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．
224．复数|z|?1,若存在负数a使得z?2az?a?a?0，则a?________．
5．若cosx?sinx?133，则cosx?sinx?________． 26．数列?an?的通项公式为an?1，则这个数列的前99项之和
nn?1?(n?1)nS99?_______．
7．(1?x)?(1?x)2?……?(1?x)98?(1?x)99中x的系数为________． 8．数列?an?中，a0?0，a1??3135，a2?6，a3??，a4?20，a5??，a6?42，2467a7??，a8?72，此数列的通项公式为an?_______．
89．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．
10．若曲线C1:x2?y2?0 与 C2:(x?a)2?y2?1的图像有3个交点，则a?_______． 二．解答题
1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？
22．已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是
否有实数根？并证明你的结论．
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？
4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设
u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的
个数．
（１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3；
（３）令w?(0,0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)，
?????n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．
25．曲线y?2px?p?0?与圆(x?2)2?y2?3交于A、B两点，线段AB的中点在y?x上，求p．
2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1
一．填空题
32x?11．若f(x)?x，g(x)?f?1(x)，则g()?_______．2
52?12．函数y?x?11的最大值为__________． x2?843．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．20
224．复数|z|?1,若存在负数a使得z?2az?a?a?0，则a?________．
1?5 2
5．若cosx?sinx?11133，则cosx?sinx?________． 2166．数列?an?的通项公式为an?1，则这个数列的前99项之和
nn?1?(n?1)nS99?_______．
9 1029899347．(1?x)?(1?x)?……?(1?x)?(1?x)中x的系数为________．C100?3921225
8．数列?an?中，a0?0，a1??135，a2?6，a3??，a4?20，a5??，a6?42，246n7a7??，a8?72，此数列的通项公式为an?_______．(?1)8n(n?1)(?1)n
9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．
2 3?1 10．若曲线C1:x2?y2?0 与 C2:(x?a)2?y2?1的图像有3个交点，则a? ．二．解答题
1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？ 1． 解：?1?不可能
① 若a、b为同一人，有a?b； ② 若a、b在同一行、列，则均有a?b； ③ 若a、b不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b所在
行相交的人为x。
因为a为a、x列最矮的人，所以有a?x； 又因为b为b、x列最高的人，所以有b?x； 于是有a?x?b。
综上，不可能有a?b
?2?有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,3……30，如图2所示：
此时有a?b?26．
2．已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是否有实数根？并证明你的结论． 解：没有.
法一： f(x)?x?ax2?(b?1)x?c?0无实数根， ??(b?1)2?4ac?0；
f(f(x))?x?0．
a(ax2?bx?c)2?b(ax2?bx?c)?c?x?0a(ax2?bx?c)2?ax2?ax2?b(ax2?bx?c)?c?x?0．
a(ax2?bx?c?x)(ax2?bx?c?x)?(b?1)ax2?(b2?1)x?c(b?1)?0．
222a??ax?(b?1)x?c????ax?(b?1)x?c???(b?1)??ax?(b?1)x?c???0． 222???ax?(b?1)x?ca???x?a(b?1)x?b?c?1???0．
于是有ax?(b?1)x?c?0或ax?a(b?1)x?ac?b?1?0．
222?1?(b?1)2?4ac?0； ?2?a2(b?1)2?4a2(ac?b?1)
22(b?1)?4a?c?? ?a???424a?。0
故均不存在实数根。
法二：若a?0，则f(x)?x，
于是 f(f(x))?f(x)?x； 若a?0，则f(x)?x， 于是 f(f(x))?f(x)?x； 所以f(f(x))?x没有实数根。
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 解：?1?乙专家
若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分
3 0 3 0 3 3 12 澳
1 3 0 3 10 中 0 3
3 3 10 卡 0 3 1 0
3 伊 0 0 3 0 0 0
假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。
?2?若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。
澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分
3 0 3 0 3 3 12 澳
0 3 3 3 12 中 0 3
3 3 12 卡 0 3 3 0
0 伊 0 0 0 0 0 0
假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。
4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设