数学证明中的构造辅助函数方法
摘要 数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.
关键词 辅助函数 ； 中值定理 ； 恒等式与不等式； 函数表达式 ；极值
1.引言
数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.
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2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧
2.1 拉格朗日（Lagrange）中值定理辅助函数的作法
定理1（Rolle）：若函数f(x)满足如下条件：
（i）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （ii）f(x)在开区间(a,b)内可导； （iii）f(a)?f(b)；
则在(a,b)内至少存在一点?，使得f?(?)?0. 定理2（Lagrange）：若函数f(x)满足如下条件：
（i）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（ii）f(x)在开区间(a,b)内可导；
则在(a,b)内至少存在一点?，使得 f?(?)?f?b??f?a?
b?a显然，特别当f(a)?f(b)时，本定理的结论即为Rolle定理的结论。表明Rolle定理是Lagrange中值定理的一个特殊情形. 证明：f?(?)?f?b??f?a?f?b??f?a??0，自然想到等式的左可以写成f?(?)?b?ab?a端是某个函数的导数，所以构造辅助函数：
f?b??f?a?x （1） F(x)?f(x)?b?a显然，函数F(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导,而且F(a)?F(b)，于是由Rolle中值定理知道，至少存在一点???a,b?，使得
F?(?)?f?(?)?f?b??f?a??0成立，也就是Lagrange中值定理成立.
b?af?b??f?a?，该等式的右端是连接曲线弧端
b?aLagrange中值定理的结论：f?(?)?点的弦的斜率，所以Lagrange中值定理的几何意义就是：在满足条件的曲线上
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至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.在Rolle定理中，由于f(a)?f(b)，弦是平行于x轴的，因此在?点的切线实际上也平行于以连接曲线弧端点的弦，从上述Lagrange中值定理与Rolle定理的关系，自然想到利用Rolle定理来证明Lagrange中值定理，但在Lagrange中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)?f(b)这个条件，为此设想构造一个与f(x)有密切联系的函数
F(x)，使F(x)满足条件F(a)?F(b)，然后对F(x)应用Rolle定理，再把对F(x)所得的结论转化到f(x)上，证得所要的结果，从Lagrange中值定理的几何解释中来寻找辅助函数F(x)，从图1中看到，有向线段AB的长度是x的函数，把它表示为F(x)，它与f(x)有密切的联系，且当x?a及x?b时，点A与点B重合.若将图1的虚线坐标平移到图2，即有F(a)?F(b)?0，为了求得函数F(x)的表达式，设直线AB的方程为y?L(x)，则 L(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)
b?a由于点A、B的纵坐标依次为f(x)及L(x)，故表示有向线段AB长度的函数
F(x)?f(x)?L(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a) （2）
b?a显然（2）式这个辅助函数满足在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导,而且F(a)?F(b)?0，由Rolle定理，可知在至少存在一点???a,b?，使得
F?(?)?f?(?)?成立，也就是Lagrange中值定理成立.
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f?b??f?a??0
b?a