实验报告一 题目： 非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，*且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序： clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); %%%改进常数或重根数 miu=2; %%%初始值x0 x0=input('input initial value x0>>'); k=0;%迭代次数 max=100;%最大迭代次数 R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解 while (abs(R)>1e-8) x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x')); R=x1-x0; x0=x1; k=k+1; if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10); break end if k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s'); if strcmp(ss,'y') x0=input('input initial value x0>>'); k=0; else break end end end k;%给出迭代次数 x=x0；%给出解 结果分析和讨论： x2?0在[1，2]内的根。(??5*10?6,下同) 1. 用二分法计算方程sinx?2计算结果为 x=； f(x)=； k=18； 由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。 2. 用二分法计算方程x3?x?1?0在[1，1.5]内的根。 计算结果为 x=； f(x)=； k=17； 由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。 3. 用Newton法求解下列方程 a) xex?1?0 x0=0.5； 计算结果为 x=； f(x)=； k=4； 由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。 b) x3?x?1?0 x0=1； c) (x?1)2(2x?1)?0 x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时，计算结果为 x=； f(x)=； k=4； 由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。 当x0=0.65时，计算结果为 x=； f(x)=0； k=9； 由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。 4. 用改进的Newton法求解，有2重根，取??2 (x?1)2(2x?1)?0 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。 当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改??1.5时，结果收敛为 x=； f(x)=； k=16； 显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。 当x0=0.85时，结果收敛为 x= 1.00000000000489； f(x)=； k=4； 这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。 结论： 对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预