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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1) 曲线y?2渐近线的条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C
【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（limf(x)?b，b为常数）、垂直渐近线（limf(x)??）和斜
x??x?x0渐近线（lim[f(x)?(ax?b)]?0，a,b为常数）。
x??（iii）注意：如果
f(x)不存在；
x??xf(x)（2）lim?a，但lim[f(x)?ax]不存在，可断定f(x)不存在斜渐近线。
x??x??x（1）limx2?x在本题中，函数y?2的间断点只有x??1.
x?1由于limy??，故x?1是垂直渐近线.
x?1（而limy?limx??1x(x?1)1?，故x??1不是渐近线）.
x??1(x?1)(x?1)21x?1，故y?1是水平渐近线.（无斜渐近线） 又limy?limx??x??11?2x1?综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数f(x)?(e?1)(ex2x?2)(enx?n),其中n为正整数,则f?(0)? ( )
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(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
【答案】A
【考点】导数的概念 【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
f?(x0)?limx?0f(x0?x)?f(x0)y. ?limxx?0x(enx?n)在本题中，按定义
f(x)?f(0)(ex?1)(e2x?2)f?(0)?lim?limx?0x?0x?0x?(?1)?(?2)?
?[?(n?1)]?(?1)n?1(n?1)!.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
f?(x)?[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x).
在本题中，用乘积求导公式.含因子e?1项在x?0为0，故只留下一项.于是
xf?(0)?[ex(e2x?2)故选（A）.
(enx?n)]x?0?(?1)?(?2)??[?(n?1)]?(?1)n?1(n?1)!
(3) 设an?0(n?1,2,)，Sn?a1?a2?a3??an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的( )
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B
【考点】数列极限 【难易度】★★★
【详解】因an?0(n?1,2,)，所以Sn?a1?a2?a3?若数列?Sn?有界，则limSn存在，于是
n???an单调上升.
liman?lim(Sn?Sn?1)?limSn?limSn?1?0
n??n??n??n??反之，若数列?an?收敛，则数列?Sn?不一定有界.例如，取an?1(n?1,2,界的.
)，则Sn?n是无
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因此，数列?Sn?有界是数列?an?收敛的充分非必要条件.故选（B）. (4)设IK??exsinxdx(k?1,2,3)则有 ( )
0k?2(A)I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D)I2?I1?I3 【答案】D
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a?c?b，则在本题中，
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.
ac2?x23?2cbI1??esinxdx，I2??esinxdx，I3??exsinxdx
000?x2I2?I1??esinxdx?0?I2?I1，
?2?x2I3?I2??exsinxdx?0?I3?I2，
2?3?2I3?I1??exsinxdx??exsinxdx??exsinxdx
??2?3?22?23?2??e2?3?(t??)2sin(t??)dt??esinxdx??[e?e2?2?3?x23?x2(x??)2]sinxdx?0?I3?I1
因此I2?I1?I3.故选D.
（5）设函数f(x,y)可微，且对任意的x,y都有
?f(x,y)?f(x,y)?0，则使不等式?0，?y?xf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是( )
（A）x1?x2，y1?y2 （B）x1?x2，y1?y2 （C）x1?x2，y1?y2 （D）x1?x2，y1?y2 【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
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