第23讲 正弦定理与余弦定理
本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用．
A类例题 例１ 在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a?c?2b,A?C??3．求
sinB的值．（１９９８年全国高考卷）
分析 化角为边转化为三角关系处理．
解 由正弦定理及角变换求解．由a?c?2b，
得 sinA?sinC?2sinB．再由三角形内角和定理及A?C??3得
A?2?3?B?B2,C?3?2， 所以 sinA?sin(2?3?B2)?32cosB2?12sinB2， sinC?sin(?3?B2)?3B1B2cos2?2sin2，
又sinB?2sinBB2cos2，代入到sinA?sinC?2sinB中得 3cosBBB2?4sin2cos2，由cosB2?0得sinB32?4， 从而cosB2?134，所以sinB?398． 例２．已知?ABC的三个内角A,B,C满足：A?C?2B，
1A?CcosA?1cosC??2cosB，求cos2的值．（１９９６年全国高考卷）
分析 通过角换元，利用两角和差公式得方程求值．
解 由题设知B?600，A?C?1200，设??A?C2，则A?C?2?，A?600??,C?600??代入条件中得
1cos(600??)?1cos(600??)??22 展开得11?1cos??3sin1??22，
22?2cos??32sin?可得化简得
cos???22，
13cos2??sin2?442即42cos??2cos??32?0，从而求出cos???ABC中，已知
2A?C2． ,即cos?222A例３ 在
AB?466，AC边上的中线,cosB?36BD（２００５湖北高考BD?5，求sinA的值．分析 用坐标和向量方法求解．
C卷）
解 以B为原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A在第一象限． 由sinB?304646445，得BA?(cosB,sinB)?(,)． 633334?3x25．于是,)，由BD?5求出x?2（另一负值舍去）
63设BC?(x,0)，则BD?(由数量积得
cosA?BA?CABACA?31470，所以sinA?．
14143． 4情景再现 １．在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB?（１） 求cotA?cotC的值； （２） 设BA?BC?3，求a?c的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ） 2２．已知在?ABC中，
sinA(sinB?cosB)?sinC?0，sinB?cos2C?0，求角A,B,C的大小．
B类例题 例４ ?ABC内接于单位圆，三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于点
A1,B1,C1，求
AA1cosCAB?BB1cos?CC1cos1222的值．（２００５年全国高中数学联赛） sinA?sinB?sinCAB?C)?2cos， 22分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理． 解 如图连接BA1，则AA1?2sin(B?AB?CA?2coscos?sinC?sinB， 222BB1cB?os?As，i同理
C12CCC1cos?sinA?sinB，
2CABAA1cos?BB1cos?CC1cos1222 B代入原式得
sinA?sinB?sinC2(sinA?sinB?sinC)??2．
sinA?sinB?sinC故AA1cos2ACnsB1inCA1例５ 在?ABC中，记BC?a,CA?b,AB?c，若9a?9b?19c?0， 求
22cotC的值．（１９９９年全国高中数学联赛）
cotA?cotB22分析 综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解． 解 由已知得a?b?192c，又由余弦定理，得 9a2?b2?c25c25sin2CcosC??，所以cosC?，
2ab9ab9sinAsinB所以cotC?5sinC5sin(A?B)?
9sinAsinB9sinAsinB5sinAcosB?cosAsinB5cotC5??(cotA?cotB)，故?． 9sinAsinB9cotA?cotB9情景再现 ３．在?ABC中，求证：
a2?b2b2?c2c2?a2???0．
cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAC类例题 例６．设非直角?ABC的重心为G，内心为I，垂心为H，内角A,B,C所对的边分别是
a,b,c．求证
（１）sinA?IA?sinB?IB?sinC?IC?0； （２）tanA?HA?tanB?HB?tanC?HC?0；
（３）HG?cotC(cotB?cotA)GB?cotB(cotC?cotA)GC． 分析 利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证． 证明（１）由定比分点的向量形式得