湖北省部分重点中学高三第二次联考数学(理)参考答案

高中数学学习材料

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湖北省部分重点中学2016届高三第二次联考

高三数学(理)试卷答案

1. C 2. D 3. A 4. A 5. A 6C 7. C 8. C 9. B 10. B 11. D. 12. B (提示:令y?0,求b的范围是?0,1?,

再令y??x,并结合选项求a的取值范围13..?15. 7. 16.. -1

17. 如图:在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=BC=AC=2,AC⊥BC.(1)求多面体ABC﹣A1C1的体积;(2)异面直线A1B与AC1所成角的大小.

解:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=BC=AC=2,AC⊥BC,∴CC1⊥平面ABC,BC⊥平面AA1C1,∵S△ABC=

=

的体积: V=

=

=.-------6分

(2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,

则A1(2,0,2),B(0,2,0),A(2,0,0),C1(0,0,2),

=(﹣2,2,﹣2),

=(﹣2,0,2),设异面直线A1B与AC1所成角

>|=|

|=0,

+

=

=

=

=2, CC1=2,BC=2,∴多面体ABC﹣A1C1

1014. 20

2

的大小为θ,则cosθ=|cos<

∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为.--------12分

说明:四棱锥求体积,补形求角可参照给分

18.武汉地铁4号线每6分钟一趟列车,小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家,每周周一至周五上五天学,如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟。则称该天为“风顺”天 (1) 求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率

(2) 记X为小明一周中“风顺”天的天数,求X的数学期望。

244?? 669 -------5份425(2)小明某天至少有一次等车时间不超过2分钟的概率p?1?()?

69552525XXB(5,),E(X)?5??的数学期望为 ,故

9999 ---------7分

解:(1)小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率p?C21

19.已知如图所示是函数f(x)?2sin(?x??)(??0)的图象 (1) 求f(x)的表达式

(2) 已知函数y?f(x)?a在区间?0,

???

上有两个零点?2??

x1,x2,求x1?x2的取值范围。

1?11?)?0并结合图像得解:(1)由f(0)?1得sin??,根据图像知???2k?,k?Z,又因为f(261211???2?24k32?11?2?11???2k?,k?Z,???????,,且 12611114?12?121824?????,???2,故f(x)?2sin(2x?)11116-------------6分

x1?x22?2)?易知2x1??2x2???,x1?x2?,?0?x1?x2?((3) 663236

??2?股x1?x2的取值范围是?0,?的取值范围 --------12分

?36?20.已知动点P(x,y)与定点F(1,0)满足条件:以PF为直径的圆恒与纵轴相切。 (1) 求动点P的轨迹C的方程

(2) 设A,B是轨迹C上的两点,已知点M(?1,m)满足MA?MB,求?MAB的面积的最小值

???2(x?1)2?y2x?1y?4x解:(1)依题意:|,化简得动点P的轨迹C的方程-----5分 |?即为222yy2?4?y?4b?0(2)设直线AB的方程为x??y?b,与y?4x联立消去得:

22设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1?y2?4?,y1y2??4,b由MA?MB得(b?1)?(2??m)?0,

m2|?2?|m112?b?1,??,所以?MAB的面积S?|AB||d|?(x1?x2?2)? 222m21?4311m222?(1?)|(y1?m)(y2?m)|=(4?m)?4,故求?MAB的面积的最小值为4--------12分

22421.设a?b,把函数y?h(x)的图像与直线x?a和x?b、y?0所围成的面积与b?a的比值称为函数y?h(x)在区间(a,b)上的“面积密度”

(1)设f(x)?xlnx?x,曲线y?f(x)与直线y?x?b相切,求b的值;

(2)设0?a?b,求u的值(用a,b表示)使得函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”取

得最小值;

(3)记(2)中的最小值为?(a,b),求证:?(a,b)?ln2

解(1)f'(x)?lnx,设切点为(x0,y0),则lnx0?1,x0?e,从而y0?0,把点(x0,y0)代入y?x?b得

b??e----------3分

g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”取得最小值, 使得函数(2)易知:要

必须a?u?b,故函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度”

h(u)?1b1u1b|lnx?lnu|dxh?(lnu?lnx)dx?(lnx?lnu)dx ???aaub?ab?ab?a2ub?ablnb?alnab?a2b?a??lnu??h'(u)???0, b?ab?ab?ab?a,令b?a(b?a)ua?ba?b,即当u?,时,函数g(x)?|lnx?lnu|在区间(a,b)上的“面积密度最小,最小值为22得u?blnb?alna?(b?a)lnb?ab?a2-----------7分

(3) 设F(x)?xlnx?alna?(x?a)ln则F'(x)?lnx?a?(x?a)ln2,(x?a) 2x?0,所以F(x)在?a,???上是减函数,当b?a?0时F(b)?F(a)?0 x?ab?a?(b?a)ln2 2所以blnb?alna?(b?a)lnblnb?alna?(b?a)ln故?(a,b)?b?ab?a2?ln2

------------12分

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,四边形ABDC内接于圆,BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点. (I)求证:∠EAC=2∠DCE;(Ⅱ)若BD⊥AB,BC=BE,AE=2,求AB的长. 解答: (Ⅰ)证明:因为BD=CD,所以∠BCD=∠CBD.

因为CE是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD.所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD.…(5分) (Ⅱ)解:因为BD⊥AB,所以AC⊥CD,AC=AB.

因为BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以AC=EC.由切割线定理得EC=AE?BE,即AB=AE?( AE﹣AB),即AB+2 AB﹣4=0,解得AB=

2

2

2

﹣1.…(10分)

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆C的圆心C((Ⅰ)求圆C的极坐标方程;

),半径r=

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