广州大学2014-2015学年第二学期考试卷解答
课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试
一、选择题（每小题3分，总分15分）
1．某人向靶子射击三次，用Ai表示“第i次击中靶子”（i?1,2,3），那么事件A1?A2?A3表示（ D ）
(A) 三次都没击中； (B) 恰好有一次没击中； (C) 至少有一次击中； (D) 至多有两次击中. 2.设A、B是事件，且A?B，则下式正确的是（ D ）. （A）P(AB)?P(B)； （B）P(B|A)?P(B)； （C）P(A?B)?P(A)?P(B)； （D）P(B)?P(A).
13．设随机变量X的概率密度为f(x)?，则Y?2X的概率密度fY(y)?（ B ）. 2?(1?x)(A)
2241； (B) ； (C) ； (D) . 22222?(1?y)?(4?y)?(1?4y)?(4?y)k，（k?1,?,6）则C?( D ). C4．设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?(A) 10； (B) 15； (C) 18； (D) 21. 5.对于任意随机变量?,?，若E(??)?E(?)E(?)，则有（ D ）. (A) D(??)?D(?)D(?)； （B）?,?不独立；
(C) ?,?一定独立； （D）D(???)?D(?)?D(?).
二、填空题（每小题3分，总分15分）
1．袋中有6个红球，4个白球，从中任取2个，则恰好取到2个红球的概率是1/3.
2.设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为0.4和0.5, 则目标被击中的概率是 ___0.7 .
3.设P(A)?0.5,P(AB)?0.2,P(B)?0.6, 则P(B/A)?__0.8 .
?34. 设X服从参数为??3的泊松分布, 则P(X?1)?3e.
5．设随机变量X～N(1,2)，Y～B(100,0.2)，则E(2X?Y?6)?___16 . 三、(每小题8分，总分24分)
1.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.
解：设A1表示“取出的三个数中有偶数”， A2表示“取出的三个数中有5”， 则所求的概率为
P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2) ------2分
?1?[P(A1)?P(A2)?P(A1A2)]
584?1?[()3?()3?()3] ------6分
999
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?156(或0.214) ------8分 729
2.甲，乙两个盒子里各装有10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正品，现从甲盒中任取两只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出两只，问从乙盒中取出的恰好都是正品的概率是多少？ 解：设Ai表示“从甲盒中取到i只次品” (i=0,1)，B表示“从乙盒中取出的恰好都是正品”，由题设，知 P(A0)?2C92C102C112C12?0.8,P(A1)?1C92C10?0.2,
P(B/A0)?2C10515?,P(B/A1)?2?, ------5分 6C1222由全概率公式得
P(B)?P(A0)P(B/A0)?P(A1)P(B/A1)?53(或0.803). ------8分 66
3.设某元件的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度为
?1??e??xx?0f(x)????， 其中参数，
1000?0其它?求3个这样的元件使用2000小时，至少已有一个损坏的概率.
1e)?2000解：P(X?20001000????x1000dx??e?x1000???e?2 ------4分
2000?2设Y表示3个元件中使用2000小时损坏的元件数，则Y~B(3,1?e) 所求的概率为
P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(e?2)3?1?e?6 ------8分
四、（本题总分12分） 已知随机变量X的分布律为 0 X pk 0.3 2 0.5 3 0.2 2（1）求X的分布函数； （2）求数学期望E(X)； （3）求Y?X的概率分布. 解：（1）随机变量X的分布函数为
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?0?0.3?F(x)???0.8??1（2）E(X)?（3）
x?00?x?22?x?3 ------4分 x?3?xpii?13i?0?2?0.5?3?0.2?1.6 ------8分
0 4 9 0.3 0.5 0.2 ------12分 五、（本题总分12分）
设总体X服从指数分布，其概率密度函数
??e??x,x?0， f(x,?)??x?0?0,其中??0是未知参数. 已知x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数?的最大似然估计值.
解：似然函数为
L(?)??f(xi,?)，------3分
i?1nX2 pk 易知L(?)的最大值点为L1(?)???e??xi 的最大值点，------5分
i?1nlnL1(?)?nln????xi，------7分
i?1ndlnL1(?)nn???xi，------10分 d??i?1dlnL1(?)?0，求得参数?的最大似然估计值为 令
d???n?1.------12分 ?nx?xii?1 六、（本题总分12分）
设X和Y是两个相互独立的随机变量，Y在（0，3）上服从均匀分布，X的概率密度为
?x?f(x)??2
??0
0?x?a其它
（1）求常数a； （2）求期望E(X)和D(X)； （3）求D(X?2Y).
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