式，但反之则不然，即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。
（二）用自然推理的方法证明下述推理的有效性。 1．①(A∧B)→(A→D∧E)，②(A∧B∧C)。所以，D∨E。
证明：⑴ (A∧B)→(A→D∧E) 已知
⑵ A∧B∧C 已知 ⑶ A∧B ⑵，联言推理的分解式 ⑷ A ⑶，联言推理的分解式 ⑸ A→D∧E ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D∧E ⑷、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ D ⑹，联言推理的分解式 ⑻ D∨E ⑺，析取附加式
2．①E→F∧﹁G，②F∨G→H，③E。所以，H。
证明：⑴ E→F∧﹁G 已知
⑵ F∨G→H 已知 ⑶ E 已知 ⑷ F∧﹁G ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑸ F ⑷，联言推理的分解式 ⑹ F∨G ⑸，析取附加律 ⑺ H ⑵，⑹，充分条件推理的肯定前件式
3．①M→N，②N→O，③ (M→O)→(N→P)，④(M→P)→Q。所以，Q。
证明：⑴ M→N 已知
⑵ N→O 已知 ⑶ (M→O)→(N→P) 已知 ⑷ (M→P)→Q 已知 ⑸ M→O ⑴、⑵，条件三段论 ⑹ N→P ⑶、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ M→P ⑴、⑹，条件三段论 ⑻ Q ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式
4．①A→B，②B→C，③ C→D，④(A→D)→(B→A)，⑤﹁A。所以，﹁B。
证明：⑴ A→B 已知
⑵ B→C 已知 ⑶ C→D 已知 ⑷ (A→D)→(B→A) 已知 ⑸ ﹁A 已知 ⑹ A→C ⑴、⑵，条件三段论 ⑺ A→D ⑶、⑹，条件三段论 ⑻ B→A ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ ﹁B ⑸、⑻，充分条件推理的否定后件式
5．A∨B→(C∨D→E)。所以，A→(C∧D→E)。
证明：⑴ A∨B→(C∨D→E) 已知
⑵ A 假设 ⑶ C∧D 假设 ⑷ A∨B ⑵，析取附加律 ⑸ C∨D→E ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式
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⑹ C ⑶，联言推理的分解式 ⑺ C∨D ⑹，析取附加律 ⑻ E ⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ C∧D→E ⑶、⑻，→引入 ⑽ A→(C∧D→E) ⑵、⑼，→引入
6．①A∨B→C∧D，②D∨E→F。所以，A→F。
证明：⑴ A∨B→C∧D 已知
⑵ D∨E→F 已知 ⑶ A 假设 ⑷ A∨B ⑶，析取附加律 ⑸ C∧D ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D ⑶，联言推理的分解式 ⑺ D∨E ⑹，析取附加律 ⑻ F ⑵、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ A→F ⑶、⑻，→引入
7．①A∧B→C，②(A→C)→D，③﹁B∨E。所以，B→D∧E
证明：⑴ A∧B→C 已知
⑵ (A→C)→D 已知 ⑶ ﹁B∨E 已知 ⑷ B 假设 ⑸ E ⑶、⑷，选言推理的否定肯定式 ⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑴，等值命题 ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑹，德摩根定律 ⑻ (﹁A∨C)→D ⑵，等值命题 ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻，条件附加律 ⑽ D ⑺、⑼，充分条件推理的肯定前件式 ⑾ D∧E ⑸、⑽，联言推理的组合式 ⑿ B→D∧E ⑷、⑾，→引入
8．①A∨(B∧C)，②(A→D)∧(D→C)。所以，C。
证明：⑴ A∨(B∧C) 已知
⑵ (A→D)∧(D→C) 已知 ⑶ A→C ⑵，条件三段论 ⑷ A∨(B∧C)→C ⑶，条件附加律 ⑸ C ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式
第七章 谓词逻辑初步
一、填空题
1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非
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传递）性。
2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。
3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关系的是（真包含关系）。
4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中，属于反对称关系的是（真包含于关系），属于反传递关系的是（真包含于关系、矛盾关系）。 5．已知关系R是反对称的、传递的，由aRb真可得知（bRa假）；由aRb真且bRc真可得知（aRc真）。
二、单项选择题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．A
解析：由题意可知，甲+乙=丙+丁，甲+丁＞乙+丙，甲+丙＜乙。经过运算可得，丁＞
乙＞甲＞丙。
8．C
三、双项选择题 1．“人事变动不等于政策变动，所以政策变动不等于人事变动。”该推理是（ BE ）
A．有效的反对称性关系推理 B．有效的对称性关系推理 C．无效的反对称关系推理 D．无效的对称性关系推理 E．有效的纯关系推理 2．“甲了解乙，乙了解丙，所以甲了解丙。”这个推理是（ CE ）
A．有效的传统关系推理 B．有效的反传统关系推理 C．误把非传统关系当作传递关系 D．无效的反传统关系推理 E．无效的纯关系推理
3．下列既是反对称性又是传递性的关系是（ CD ）
A．援助 B．矛盾 C．在??左边 D．真包含于 E．交叉 4．“柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家”这个命题是（ CE ）
A．关系命题 B．直言命题 C．复合命题 D．全称命题 E．联言命题
注意，直言命题通常被分析到词项，因此直言命题通常是指简单命题。 5．在概念外延间的关系中，不具有传递性的是（ CD ）
A．同一关系 B．真包含关系 C．交叉关系 D．全异关系 E．真包含于关系
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四、应用分析题
（一）指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？ 1．数8。
答：“8”是个体词，“数”是谓词。 2．x是深红色的。
答：x是个体词，“是深红色的”是谓词。 注意，（1）这里的x其实是个体变项。下同。
（2）命题都有真假，而“x是深红色的”没有真假，因为这里的x实际上是一个
空位，即该语句其实是“（ ）是深红色的”，它是一个开语句，不能表达通常所谓的命题。下同。
3．x+y=z
答：x、y和z是个体词，+和=是谓词。 4．所有的x。
答：“所有”是量词，x是个体词。 5．将要出任校长的人。
答：“将要出任校长的人”是谓词。因为通常说，例如，“张三是将要出任校长的人”。 6．小黄不爱小李，但也不讨厌小李。
答：“小黄”和“小李”为个体词，“爱”和“讨厌”是谓词，“小黄不爱小李”、“（小黄）
不讨厌小李”和“小黄不爱小李，但也不讨厌小李”都是命题。
7．至少有数x。
答：x是个体词，“至少有”是量词，“数”是谓词。 8．几乎所有的人。
答：“几乎所有”是量词，“人”是个体词。 （二）把下列命题表达为谓词公式 1．有的粉笔是红色的。（F：是粉笔；G：是红色的）
解：?x(Fx∧Gx)
2．所有的学生都没有缺席。（F：是学生；G：缺席）
解：?x(Fx→﹁Gx)
3．有的学生既不是上海人也不是江西人。（F：是学生；G：是上海人；H：是江西人）
解：?x(Fx∧﹁Gx∧﹁Hx) 4．小陈不接受任何意见。（a：小陈；F：是意见；R(x, y)：x接受y）
解：?x(Fx→﹁R(a, x))
5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。（F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；R(x, y)：x认识y）
解：?x(Fx∧?y((Gy∧Hy)→R(x, y)) 6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。（F：是儿童；G：是饮料；R(x, y)：x喜欢y）
解：﹁?x(Fx→?y(Gy∧R(x, y))) 7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。（a：小陈；b：我；F：是书；R(x, y)：x喜欢y）
解：?x((Fx∧R(a, x))→R(b, x))
（三）指出下列公式中哪些是约束变项，哪些是自由变项，并指出量词的辖域。 1．?x(Px∧Qx)→?xPx∧Qx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧Qx)。第二个x也是约束变项，辖域为Px。第
三个x是自由变项。
2．?x(Px∧?xQx)∨?x(Rx→Qx)
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解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧?xQx)。第二个x也是约束变项，辖域为Qx。
第三个x也是约束的，辖域为(Rx→Qx)。
3．?x(Px?Qx∧?xRx)∧?xRx∧Sx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px?Qx∧?xRx)。第二个x是约束变项，辖域为Rx。
第三个x为自由变项。
4．?x(Px→?yR(x, y))
解：x为约束变项，辖域为(Px→?yR(x, y))。y为约束变项，辖域为R(x, y)。 5．?x?y(R(x, y)→﹁Gx)∧?zR(x, z)
解：x为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。y为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。z
为约束变项，辖域为R(x, z)。
6．?x?y(P(x, y)∧Q(y, z))∧?xP(x, y)
解：第一个x为约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第一个y约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y,
z)。第二个x为约束变项，辖域为P(x, y)。第二个y为自由变项。
（四）把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式 1．有的S是P，所以有的P不是S。
解：?x(Sx∧Px)→?x(Px∧﹁Sx)
2．所有M不是P，所有S是M，所以有的S不是P。
解：(?x(Mx→﹁Px)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx∧﹁Px) 3．没有P是M，凡S是M，所以凡S不是P。
解：(?x(Px→﹁Mx)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx→﹁Px) 4．所有M是P，所有M是S，所以有S是P。
解：?x(Mx→Px)∧?x(Mx→Sx)→?x(Sx∧Px)
（五）分析下列命题，指出哪些是直言命题，哪些是关系命题。 1．人民利益高于一切。 2．事实胜于雄辩。
3．普及工作和提高工作是紧密相连的。 4．普及工作和提高工作都是要进行的。 5．命题甲和命题乙是矛盾的。
6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。
答：第4和第6是直言命题，第1、2、3和第5是关系命题。 （六）下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？
1．所有固体都能为有的液体溶解，有的金属是固体，所以有的金属能为有的液体溶解。
答：有效。
2．一切负数都不比一切正整数大，零不是负数，所以零不比一切正整数大。
答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。
3．每人都同意有些建议，有些建议是十分宝贵的，所以每人都同意有些十分宝贵的建议。
答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。
4．有些甲班同学没有参加书法小组，小吴参加书法小组，所以小吴不是甲班同学。
答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。 （七）把下列关系命题表达为谓词公式 1．珠穆朗玛峰比所有山都高。
解：设M表示山，a表示珠穆朗玛峰，H(x, y)表示x比y高，则 ?x(Mx→H(a, x))
2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。
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