实验四 动态法测定材料杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一、实验目的
1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理
长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 ： ?4y?s?2y??0 42?xYJ?t (1) 式中?为棒的密度，S为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y为杨氏模量。 解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令y(x,t)?X(x)T(t)
1d4X?s1d2T??代入方程（1）得： 4XdxYJTdt2等式两边分别是x和t的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为K，于是得：
4d4X?K4X?0 4dxd2TK4YJ?T?0 2?sdt这两个线形常微分方程的通解分别为：
X(x)?B1chKx?B2shKx?B3cosKx?B4sinKx
T(t)?Acos(? t??)
于是解振动方程式得通解为：
y(x,t)?(B1chKx?B2shKx?B3cosKx?B4sinKx)Acos(? t??)
其中式（2）称为频率公式：
????KYJ?? (2）
??s?412该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，并将其代入特定截面的转动惯量J，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：
?M?3yF????YJ3?0
?x?x?2y?0 弯矩 ： M?YJ2?xd3Xd3X即 ?0 ?0 33dxx?ldxx?0d2Xd2X ?0 ?0
dx2x?0dx2x?l将通解代入边界条件，得到cosKLchKL?1，用数值解法求得本征值K和棒长L应满足：
KL?0, 4.7300, 7.8532, 10.9956, 14.137, 17.279, 20.420??,
由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，
记作K1 L。一般将K1 L?4.7300所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述KnL值中，1，3，5?个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6?个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当n?1, 2, 3, 4时的振动波形。由n?1图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为0.224L和0.776L处。理论上悬
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挂点(支撑点)应取在节点处，但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振，为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑)，用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征值K?4.7300代入（2）式，得到自由振动的固有频率（即基频）： L ?????4.7300?YJ?? 4?ls??412解出杨氏模量：
Y?1.9978?10?3?L4sJ?2
L3m2?7.8870?10?f
J?2对于圆棒： J?2?yds?s(d2) 式中d为圆棒的直径。 4L3m274f （3） 得到杨氏模量的表达式为： Y?1.606?d上式即为（1）式的解。式中L为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量。如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y。在国际单位制中杨氏模量的单位为（Nm?2）。
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本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该
温度下的共振频率。根据（3）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。
图3动态杨氏模量测试台
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