§2.5 指数与指数函数
考纲展示? 1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考点1 指数幂的化简与求值
1.根式 (1)根式的概念
若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
*
n?x＝na当n为奇数且n∈N时，
x＝a???x＝±na当n为偶数且n∈N时.
*
n*
答案：(1)x＝a 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
n①正分数指数幂：a ＝________(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；
－
②负分数指数幂：amn*
mn ＝________＝________(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；
*
③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________． (2)有理数指数幂的性质
①aa＝________(a＞0，r，s∈Q)； ②(a)＝________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)＝________(a＞0，b＞0，r∈Q)．
rrsrs - 1 -
答案：(1)①a ②
nm1
m na
rr
1
③0 无意义
nam(2)①ar＋s ②a ③ab
rs
(1)[教材习题改编]若x＋x＝5，则x－x＝________. 答案：±521
解析：把x＋x＝5两边平方，可得x＋x＝23，所以(x－x)＝x－2＋x＝21，所以
－1
2
－2
－12
2
－2
－1
2
－2
x－x－1＝±21，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±521.
33
11 －
22 －
22x ＋x ＋2
(2)[教材习题改编]若x ＋x ＝3，则＝________.
x2＋x－2＋32答案：
51111 － －22222解析：由x ＋x ＝3，得(x ＋x )＝9， 即x＋x＝7. 3－2x ＋x ＋2＝x2＋x－2＋3 ＝202＝. 5053211－22x ＋x x＋x－1 －1x＋x－1－1＋22－2＋3
根式化简与指数运算的误区：混淆“a”与“(a)”；误用性质． (1)
4
nnnna－b4
＝__________；
?a－b???b－a4
答案：|a－b|＝?
4
a≥b，a
解析：a－b＝|a－b|＝?
?a－b???b－aa≥b，a - 2 - 1 260 (2)化简[(－2)] －(－1)的结果为________． 答案：7 11 22606 解析：[(－2)] －(－1)＝(2) －1＝8－1＝7. [典题1] 化简下列各式： 12 335－2.530 (1)[(0.064 )] －3－π； 8 4 31 332?－ 2?3a×a32b?×÷?. ?52?a －a? ?33(2)a －8a b 2334b ＋2ab＋a a×a 15? 2? 1?－ ?3???27?3 ?【解】 (1)原式＝??64?5?2 ? －?? －1 ?8??? ????????1 000??1521 ×(－)× 23??3?3?34?3?5??＝???? －???? －1 ??10????2??53＝－－1 22 - 3 - ＝0. 1 3a [1 3a 2 (2)原式＝ a 1 3 1 3 3 ＋a × －2b ]11 332b ＋2b 13 3 ÷ 2 1 3 a －2b 13 a× 12 a×a 111 235a ×a 111 333 ＝a (a －2b )× 5 126 33aa 2 ×＝a ×a×a ＝a. 111 336a －2b a 2 3 [点石成金] 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点2 指数函数的图象及应用 指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0