(3)如图2,若过P(﹣4,0),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C2对称轴右侧部分(含顶点)运动,直线m过点C和点E.问:是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式;若不存在,说明理由.
考点: 二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的增减性. 专题: 压轴题;存在型. 分析: (1)由抛物线的顶点式易得顶点A坐标,把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题. 菁优网版权所有(2)根据平移法则求出抛物线C2的解析式,用待定系数法求出直线AB的解析式,再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标,就可以求出S△OAC:S△OAD的值. (3)设直线m与y轴交于点G,直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化,故需对点G的位置进行讨论,借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标,从而求出相应的直线m的解析式. 2解答: 解:(1)∵抛物线C1:y=a(x+1)﹣2的顶点为A, ∴点A的坐标为(﹣1,﹣2). 2∵抛物线C1:y=a(x+1)﹣2经过点B(﹣2,﹣1), 2∴a(﹣2+1)﹣2=﹣1. 解得:a=1. ∴抛物线C1的解析式为:y=(x+1)﹣2. (2)∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得, 22∴抛物线C2的解析式为:y=(x+1)﹣2﹣2=(x+1)﹣4. 设直线AB的解析式为y=kx+b. ∵A(﹣1,﹣2),B(﹣2,﹣1), ∴ 2解得: ∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3. 联立 解得:或. ∴C(﹣3,0),D(0,﹣3). ∴OC=3,OD=3. 过点A作AE⊥x轴,垂足为E, 过点A作AF⊥y轴,垂足为F, ∵A(﹣1,﹣2), ∴AF=1,AE=2. ∴S△OAC:S△OAD =(OC?AE):(OD?AF) =(×3×2):(×3×1) =2. ∴S△OAC:S△OAD的值为2. (3)设直线m与y轴交于点G,与直线l交于点H, 设点G的坐标为(0,t) 当m∥l时,CG∥PQ. ∴△OCG∽△OPQ. ∴=. ∵P(﹣4,0),Q(0,2), ∴OP=4,OQ=2, ∴=. ∴OG=. ∴t=时,直线l,m与x轴不能构成三角形. ∵t=0时,直线m与x轴重合, ∴直线l,m与x轴不能构成三角形. ∴t≠0且t≠. ①t<0时,如图2①所示. ∵∠PHC>∠PQG,∠PHC>∠QGH, ∴∠PHC≠∠PQG,∠PHC≠∠QGH. 当∠PHC=∠GHQ时, ∵∠PHC+∠GHQ=180°, ∴∠PHC=∠GHQ=90°. ∵∠POQ=90°, ∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ. ∴△PHC∽△GHQ. ∵∠QPO=∠OGC, ∴tan∠QPO=tan∠OGC. ∴∴==. . ∴OG=6. ∴点G的坐标为(0,﹣6) 设直线m的解析式为y=mx+n, ∵点C(﹣3,0),点G(0,﹣6)在直线m上, ∴. 解得:. ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6, 联立, 解得:或 ∴E(﹣1,﹣4). 此时点E在顶点,符合条件. ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6. ②O<t<时,如图2②所示, ∵tan∠GCO=tan∠PQO==<, ==2, ∴tan∠GCO≠tan∠PQO. ∴∠GCO≠∠PQO. ∵∠GCO=∠PCH, ∴∠PCH≠∠PQO. 又∵∠HPC>∠PQO, ∴△PHC与△GHQ不相似. ∴符合条件的直线m不存在. ③<t≤2时,如图2③所示. ∵tan∠CGO=tan∠QPO==≥, ==. ∴tan∠CGO≠tan∠QPO. ∴∠CGO≠∠QPO. ∵∠CGO=∠QGH, ∴∠QGH≠∠QPO, 又∵∠HQG>∠QPO, ∴△PHC与△GHQ不相似. ∴符合条件的直线m不存在. ④t>2时,如图2④所示. 此时点E在对称轴的右侧. ∵∠PCH>∠CGO, ∴∠PCH≠∠CGO. 当∠QPC=∠CGO时, ∵∠PHC=∠QHG,∠HPC=∠HGQ, ∴△PCH∽△GQH. ∴符合条件的直线m存在. ∵∠QPO=∠CGO,∠POQ=∠GOC=90°, ∴△POQ∽△GOC. ∴∴=. =. ∴OG=6. ∴点G的坐标为(0,6). 设直线m的解析式为y=px+q ∵点C(﹣3,0)、点G(0,6)在直线m上, ∴. 解得:. ∴直线m的解析式为y=2x+6. 综上所述:存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似, 此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6.