数值分析试题集
（试卷一）
**一（10分）已知x1?1.3409，x2?1.0125都是由四舍五入产生的近似值，判断x1?x2及x1?x2有几位有效数字。
二（10分）由下表求插值多项式 x 0 1 2 y 2 3 4 1 －1 y? ****三（15分）设f(x)?C[a,b]，H（x）是满足下列条件的三次多项式
4H(a)?f(a),H(b)?f(b),H(c)?f(c),H?(c)?f?(c)求f(x)?H(x)，并证明之。
四（15分）计算
(a?c?b)
2?2，。 ??10dx3?01?x1五（15分）在[0，2]上取x0?0,x1?1,x2?2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型y????y,??0，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（15分）求方程x?4x?7x?1?0在-1.2附近的近似值，??10。
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32?3（试卷二）
一 填空（4*2分）
?1 {?k(x)}k?0是区间[0，1]上的权函数为?(x)?x的最高项系数为1的正交多项式族，其中
21?0(x)?1，则?x??0(x)dx?-------------------，?1(x)?------------------。
0?21??，则A??-----------， ?(A)?-----------------。 ???14??a?12?3 设A????14??，当a满足条件----------------时，A可作LU分解。
??***324 设非线性方程f(x)?(x?3x?3x?1)(x?3)?0，其根x1??3，x2??1，则求x1的
2 A???近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。
?0.5a??1??3A??0.52?0.5二（8分）方程组AX=b，其中??，X,b?R
??a?0.51???1 试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代
收敛最快？
2 选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。
?y??f(x,y)三（9分）常微分方程初值问题?的单步法公式为yn?1?yn?1?2hf(xn,yn)，求该
y?y(x)0?0公式的精度。
四（14分）设A?X?b为对称正定方程组
1
1 求使迭代过程Xk?1?Xk???(b?A?Xk)收敛的数?的变化范围；
?2?2 用此法解方程组??1??1?T（取初值X0?(1,1,1)?1?1??x1??0??????20???x2???1?
????01???x3??0?，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。
(试卷三)
11??，求A的谱半径?(A)，范数为1的条件数cond(A)1。 ??－51?2二 设f(x)?3x?5,xi?i,(i?0,1,2,?)，分别计算该函数的二、三阶差商
f[xn,xn?1,xn?2]，f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]。
一 设A＝???三 设向量x?(x1,x2,x3)T
1 若定义x?x1?2x2?x3，问它是不是一种向量范数？请说明理由。 2 若定义x?x1?3x2?x3，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。
?2?1?1???TA??120四 设将矩阵分解为A?LL，其中L是对角线元素lii?0(i?1,2,3)的??，
??101???下三角阵。
五 设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代法xn?1?4?n??2cosxn 3**1 证明：对任意x0?(??,?)，均有limxn?x（x为方程的根）；
?32 取x0?4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值；
3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六 对于求积公式
1?01113f(x)dx?[2f()?f()?2f()]
34241 求该求积公式的代数精度；
2 证明它为插值型的求积公式。
（试卷四）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 设精确值为x?0.054039412，若取近似值x有效数字。
*?0.05410281，该近似值具有------------位
22 设f(x)?3x?5，xi?i(i?0,1,2,?)，则三阶差商f[xn,xn?1,xn?2,xn?3]?--------。
?11??，则?(A)?-----------------。 ??51??a?12?T
?4 设A??，当a满足条件 ---------------- 时，必有分解式A=LL，其中L是对角?a?4??3 A???线元素为正的下三角阵。
2
15 求积公式
?0f(x)dx?211123f()?f()?f()的代数精度为-----------。 3432343二（10分）设f(x)?C[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P(x)，使得
p(0)?f(0)?1,p(1)?f(1)?e,p?(1)?f?(1)?e
三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
b?ab?a(b?a)2?f(a)?f(b)??f(x)dx?212?f?(b)?f?(a)?
且其余项为
(b?a)5(4)R??f(?) (??(a,b))
4!?302 利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
xnx0?h2f(x)dx?Tn??f?(xn)?f?(x0)12?1?
1?b?a n这里：Tn?h??f(x0)?f(x1)???f(xn?1)?f(xn)?,xi?x0?i?h,h?2?2? 3