23．
解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴DG=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG=EF=6．
24．解：（1）四边形EBGD是菱形． 理由：∵EG垂直平分BD， ∴EB=ED，GB=GD， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EBD=∠DBC， ∴∠EDF=∠GBF， 在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB， ∴ED=BG， ∴BE=ED=DG=GB， ∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小， 在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2
，
∴EM=BE=，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC， ∴EM∥DN，EM=DN=
，MN=DE=2
，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°， ∴∠NDC=∠NCD=45°， ∴DN=NC=∴MC=3
， ，
．MC=3=10．
，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=∴EC=
=
∵HG+HC=EH+HC=EC， ∴HG+HC的最小值为10．
25．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD=CB， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF， ∴DE=BF．
（2）由（1），可得△ADE≌△CBF， ∴∠ADE=∠CBF，
∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF， ∴∠DEF=∠BFE， ∴DE∥BF， 又∵DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
26．（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD， ∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形．