第6讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题
3
1.(2017·合肥模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为2，则C＝( ) A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
13解析 法一 ∵S△ABC＝2·AB·AC·sin A＝2， 13
即2×3×1×sin A＝2，∴sin A＝1， 由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C. sin Bsin C1sin C
法二 由正弦定理，得AC＝AB，即2＝，
33
sin C＝2，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝120°时，A＝30°，
33
S△ABC＝4≠2(舍去).而当C＝60°时，A＝90°， 3
S△ABC＝2，符合条件，故C＝60°.故选C. 答案 C
2π23
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝3，a＝2，b＝3，则B等于( ) πA.3 π5πC.6或6
5πB.6 πD.6 2π23
解析 ∵A＝3，a＝2，b＝3， ab
∴由正弦定理sin A＝sin B可得，
233b31
sin B＝asin A＝2×2＝2. 2ππ∵A＝3，∴B＝6. 答案 D
Ba＋c
3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos22＝2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A.等边三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 a＋c解析 因为cos2＝2c，
2B
a＋ca
所以2cos2－1＝c－1，所以cos B＝c，
2B
a2＋c2－b2a222所以＝，所以c＝a＋b.
2acc所以△ABC为直角三角形. 答案 B
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜ cos 2B”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为在△ABC中，a＞b?sin A＞sin B?sin2A＞sin2B?2sin2A＞2sin2B?1－2sin2A＜1－2sin2B?cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件. 答案 C
5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
3πA.4 π B.3 π C.4 πD.6
b2＋c2－a22b2－a2
22
解析 在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝2，又a＝2b(1－2bc2bsin A)，所以cos A＝sin A，
π
即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝4，故选C. 答案 C 二、填空题
6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2， 1
cos C＝－4，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2?1?
＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×?－4?＝16，所以c＝4.
??答案 4
7.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝________. 1解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得sin A＝
3sin 60°
1
，解得sin A＝2，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C
13
＝90°，所以S△ABC＝2ab＝2. 3
答案 2 2πb
8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝3，a＝3c，则c＝________. 解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
2π
将A＝3，a＝3c代入， ?1??－2?， 可得(3c)2＝b2＋c2－2bc·??整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2， ?b?2b得2＝?c?＋c，
??b可解得c＝1. 答案 1 三、解答题
9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC1的面积为315，b－c＝2，cos A＝－4. (1)求a和sin C的值； π??
(2)求cos?2A＋?的值.
6??
115
解 (1)在△ABC中，由cos A＝－4，可得sin A＝4. 1
由S△ABC＝2bcsin A＝315，
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8. 由
ac15＝，得sin C＝. sin Asin C8
πππ??
(2)cos?2A＋?＝cos 2A·cos 6－sin 2A·sin6 6??15－73312
＝2(2cosA－1)－2×2sin A·cos A＝.
16
10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.