2016年四川省成都市中考数学试卷(含答案解析)

﹣5x(0≤x<120);

(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为w, 则w=(600﹣5x)(100+x) =﹣5x2+100x+60000 =﹣5(x﹣10)2+60500, ∵a=﹣5<0,

∴w的最大值是60500,

则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个. 【点评】本题考查的是二次函数的应用,根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.(10分)如图①,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连结BD.

(1)求证:BD=AC;

(2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE.

①如图②,当点F落在AC上时,(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,求AE的长; ②如图③,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时,设射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由. 【分析】(1)先判断出AH=BH,再判断出△BHD≌△AHC即可;

(2)①先根据tanC=3,求出AH=3,CH=1,然后根据△EHA∽△FHC,得到,HP=3AP,AE=2AP,最后用勾股定理即可; ②先判断出△AGQ∽△CHQ,得到比即可.

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,然后判断出△AQC∽△GQH,用相似

【解答】解:(1)在Rt△AHB中,∠ABC=45°, ∴AH=BH,

在△BHD和△AHC中,

∴△BHD≌△AHC, ∴BD=AC, (2)①如图,

在Rt△AHC中, ∵tanC=3, ∴

=3,

设CH=x, ∴BH=AH=3x, ∵BC=4, ∴3x+x=4, ∴x=1,

∴AH=3,CH=1,

由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH, ∴∠EHF+∠AHF=∠AHC+∠AHF, ∴∠EHA=∠FHC,∴△EHA∽△FHC, ∴∠EAH=∠C, ∴tan∠EAH=tanC=3, 过点H作HP⊥AE, ∴HP=3AP,AE=2AP,

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在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2, ∴AP2+(3AP)2=9, ∴AP=∴AE=②如图1,

, ;

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到, ∴HD=HF,∠AHF=30° ∴∠CHF=90°+30°=120°,

由①有,△AEH和△FHC都为等腰三角形, ∴∠GAH=∠HCG=30°, ∴CG⊥AE,

∴点C,H,G,A四点共圆, ∴∠CGH=∠CAH, 设CG与AH交于点Q, ∵∠AQC=∠GQH, ∴△AQC∽△GQH, ∴

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到, ∴EF=BD,

由(1)知,BD=AC, ∴EF=AC ∴

=

=2.

【点评】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的性质和

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判定,相似三角形的性质和判定,勾股定理,锐角三角函数的意义,等腰三角形的判定和性质,解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用.

28.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.

(1)求a的值及点A,B的坐标;

(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;

(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.

【分析】(1)把点C代入抛物线解析式即可求出a,令y=0,列方程即可求出点A、B坐标.

(2)先求出四边形ABCD面积,分两种情形:①当直线l边AD相交与点M1时,根据S

=

×10=3,求出点M1坐标即可解决问题.②当直线l边BC相交

与点M2时,同理可得点M2坐标.

(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,得到b=k,利用方程组求出点M坐标,求出直线DN解析式,再利用方程组求出点N坐标,列出方程求出k,即可解决问题.

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【解答】解:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,﹣). ∴a﹣3=﹣,解得:a=, ∴y=(x+1)2﹣3

当y=0时,有(x+1)2﹣3=0, ∴x1=2,x2=﹣4,

∴A(﹣4,0),B(2,0).

(2)∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,﹣),D(﹣1,﹣3)

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+(+3)×1+×2×=10. 从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况: ①当直线l边AD相交与点M1时,则S∴×3×(﹣y∴y

)=3

=

×10=3,

=﹣2,点M1(﹣2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直线

l的解析式为y=2x+2.

②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2(,﹣2),过点H(﹣1,0)和M2(,﹣2)的直线l的解析式为y=﹣x﹣. 综上所述:直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣.

(3)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b, ∴﹣k+b=0, ∴b=k, ∴y=kx+k. 由∴

+(﹣k)x﹣﹣k=0,

∴x1+x2=﹣2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2,

∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(k﹣1,k2).

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