【答案】523，631，847
模块三、运用同余进行论证
【例 16】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数
加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？
【考点】运用同余进行论证 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍
数，所以表中9个数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它
除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】仁华学校
【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则
s?17a?m?19b?n．
根据题意可知a?m?b?n，所以s??a?m??s??b?n?，即16a?18b，得8a?9b．所以a81是9的倍数，b是8的倍数．此时，由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a．由于s为
99三位数，最小为100，最大为999，所以100?17a?m?999，而1?m?16，所以17a?1?17a?m?999，100?17a?m?17a?16，得到5?a?58，而a是9的倍数，所以a1最小为9，最大为54．当a?54时，n?m?a?6，而n?18，所以m?12，故此时s最大
91为17?54?12?930；当a?9时，n?m?a?1，由于m?1，所以此时s最小为
917?9?1?154．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154． 【答案】最大的是930，最小的是154
【例 18】 从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则
n的最大值为多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】西城实验
【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中
只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最
?x?多能取x???个数，使得取出的数中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．
?2??n??n?基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为??或???1，两个长度差为1的
?13??13?序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 6 of 7 以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为8?8?9?5?109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108． 【答案】108
【例 19】 设2n?1是质数，证明：12，22，…，n2被2n?1除所得的余数各不相同．
【考点】运用同余进行论证 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 略
【答案】假设有两个数a、b，(1?b?a?n)，它们的平方a2，b2被2n?1除余数相同．那
么，由
同余定理得a2?b2?0(mod(2n?1))，即(a?b)(a?b)?0(mod(2n?1))，由于2n?1是质数，所以a?b?0(mod(2n?1))或a?b?0(mod(2n?1))，由于a?b，a?b均小于2n?1且大于0，可知，a?b与2n?1互质，a?b也与2n?1互质，即a?b，a?b都不能被2n?1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．
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