第五篇 数列及其应用 专题5.02 等差数列及其前n项和
【考试要求】 1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.体会等差数列与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
a＋b
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
22.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
?Sn?
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列?n?也为等差数列.
??
n（n－1）dn（a1＋an）
＝. 22
【微点提醒】
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
1
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
【教材衍化】
2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A.31
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
【真题体验】
4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A.－12
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为( ) A.－3
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.
2
B.32 C.33 D.34
B.－10 C.10 D.12
5
B.－
2
C.－2 D.－4
【考点聚焦】
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( ) A.1
B.2
C.4
D.8
(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( ) A.9
【规律方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log318 D.log324
(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.
考点二 等差数列的判定与证明
1【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
2
B.10
C.11
D.15
3