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MPL?1?2313ALK，且dMPL/dL??2/9AL?53K?23?0 3这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。
相类似的，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。 7、（1）当α0=0时，该生产函数表现为规模保持不变的特征
（2）基本思路：在规模保持不变，即α0=0，生产函数可以把α0省去。求出相应的边际产量再对相应的边际产量求导，一阶导数为负。即可证明边际产量都是递减的。
8．(1).由题意可知，C=2L+K,Q?LK2313
为了实现最大产量：MPL/MPK=W/r=2.
当C=3000时，得.L=K=1000. Q=1000.
(2).同理可得。800=L2/3K1/3.2K/L=2 L=K=800 C=2400
9利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。 解答：以下图为例，要点如下：
分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等成本线AB之间的关系.等产量线Q3虽然高于等产量线Q2。但惟一的等成本线AB与等产量线Q3既无交点又无切点。这表明等产量曲线Q3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量。再看Q1虽然它与惟一的等成本线相交与a、b两点，但等产量曲线Q1所代表的产量是比较低的。所以只需由a点出发向右或由b点出发向左沿着既定的等成本线 AB改变要素组合，就可以增加产量。因此只有在惟一的等成本线AB和等产量曲线Q2的相切点E，才是实现既定成本下的最大产量的要素组合。
10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。 解答：如图所示，要点如下：
（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本线以供分析，并从中找出相应的最小成本。
（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下， A”B”虽然代表的成本较低，但它与既定的产量曲线Q既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q所代表的产量，等成本曲线AB虽然与既定的产量曲线Q相交与a、b两点，但它代表的成本过高，通过沿着等产量曲线Q由a点向E点或由b点向E点移动，都可以获得相同的产量而使成本下降。所以只有在切点 E，才是在既定产量条件下实现最小成本的要素组合。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRL/w=MPK/r。
第五章练习题参考答案
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1。 下面表是一张关于短期生产函数Q?f(L,K)的产量表:
(1) 在表1中填空
(2) 根据(1)。在一张坐标图上作出TPL曲线,在另一张坐标图上作出APL曲线和MPL曲线。 (3) 根据(1),并假定劳动的价格ω=200,完成下面的相应的短期成本表2。
(4) 根据表2,在一张坐标图上作出TVC曲线,在另一张坐标图上作出AVC曲线和MC曲线。 (5) 根据(2)和(4),说明短期生产曲线和短期成本曲线之间的关系。 解:(1)短期生产的产量表(表1) L TPL APL MPL 1 10 10 10 2 30 15 20 3 70 70/3 40 4 100 25 30 5 120 24 20 6 130 65/3 10 7 135 135/7 5 (2)
(3)短期生产的成本表(表2) L 1 2 3 4 5 6 7 Q 10 30 70 100 120 130 135 TVC=ωL 200 400 600 800 1000 1200 1400 AVC=ω/ APL 20 40/3 60/7 8 25/3 120/13 280/27 MC=ω/ MPL 20 10 5 20/3 10 20 40 (4)
边际产量和边际成本的关系,边际MC和边际产量MPL两者的变动方向是相反的。
总产量和总成本之间也存在着对应关系:当总产量TPL下凸时,总成本TC曲线和总可变成本TVC是下凹的;当总产量曲线存在一个拐点时, 总成本TC曲线和总可变成本TVC也各存在一个拐点。平均可变成本和平均产量两者的变动方向是相反的。MC曲线和AVC曲线的交点与MPL曲线和APL曲线的交点是对应的。
2。下图是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图。请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。
解:在产量Q1和Q2上,代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。 SAC1和SAC2分别相切于LAC的A和B SMC1和SMC2则分别相交于LMC的A1和B1。
3。假定某企业的短期成本函数是TC(Q)=Q3-5Q2+15Q+66: (1) 指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分; (2) 写出下列相应的函数:TVC(Q) AC(Q) AVC(Q) AFC(Q)和MC(Q)。
解(1)可变成本部分: Q3-5Q2+15Q 不可变成本部分:66
(2)TVC(Q)= Q3-5Q2+15Q AC(Q)=Q2-5Q+15+66/Q AVC(Q)= Q2-5Q+15
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AFC(Q)=66/Q
MC(Q)= 3Q2-10Q+15
4已知某企业的短期总成本函数是STC(Q)=0。04 Q3-0。8Q2+10Q+5,求最小的平均可变成本值。
解: TVC(Q)=0。04 Q3-0。8Q2+10Q AVC(Q)= 0。04Q2-0。8Q+10 令AVC??0.08Q?0.8?0 得Q=10
又因为AVC???0.08?0 所以当Q=10时,AVCMIN?6
5。假定某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100,且生产10单位产量时的总成本为1000。 求:(1) 固定成本的值。
(2)总成本函数,总可变成本函数,以及平均成本函数,平均可变成本函数。 解:MC= 3Q2-30Q+100
所以TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+M 当Q=10时,TC=1000 M=500 (1) 固定成本值:500
(2) TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+500 TVC(Q)= Q3-15Q2+100Q AC(Q)= Q2-15Q+100+500/Q AVC(Q)= Q2-15Q+100 6。某公司用两个工厂生产一种产品,其总成本函数为C=2Q12+Q22-Q1Q2,其中Q1表示第一个工厂生产的产量,Q2表示第二个工厂生产的产量。求:当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。
解:构造F(Q)=2Q12+Q22-Q1Q2+λ(Q1+ Q2-40)
?F??4Q1?Q2???0??Q1??Q1?15?F???2Q2?Q1???0???Q2?25 令?Q2?????35??F?Q1?Q2?40?0?????使成本最小的产量组合为Q1=15,Q2=25
7已知生产函数Q=A1/4L1/4K1/2;各要素价格分别为PA=1,PL=1。PK=2;假定厂商处于短期生产,且k?16。推导:该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数;总可变成本函数和平均可变函数;边际成本函数。
解：因为k?16，所以Q?4AL （1）
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?Q?A?34L14?A?Q MPL??A14L?34?L?QMPA?AA?34L14PA??14?34??1?QMPLALPB?LMPA?所以L=A (2) 由(1)(2)可知L=A=Q2/16
又TC(Q)=PA&A(Q)+PL&L(Q)+PK&16 = Q2/16+ Q2/16+32 = Q2/8+32
AC(Q)=Q/8+32/Q TVC(Q)= Q2/8 AVC(Q)= Q/8 MC= Q/4
8已知某厂商的生产函数为Q=0。5L1/3K2/3;当资本投入量K=50时资本的总价格为500;劳动的价格PL=5,求:
(1) 劳动的投入函数L=L(Q)。
(2) 总成本函数,平均成本函数和边际成本函数。
当产品的价格P=100时,厂商获得最大利润的产量和利润各是多少? 解:(1)当K=50时，PK·K=PK·50=500, 所以PK=10。
MPL=1/6L-2/3K2/3 MPK=2/6L1/3K-1/3
1?2323LKMPL6P5??L? 213?13PK10MPkLK6整理得K/L=1/1,即K=L。
将其代入Q=0。5L1/3K2/3,可得:L(Q)=2Q
（2）STC=ω·L（Q）+r·50=5·2Q+500=10Q +500 SAC= 10+500/Q SMC=10
（3）由(1)可知,K=L,且已知K=50,所以。有L=50。代入Q=0。5L1/3K2/3, 有Q=25。 又π=TR-STC=100Q-10Q-500=1750 所以利润最大化时的 产量Q=25,利润π=1750
9。假定某厂商短期生产的边际成本函数为SMC(Q)=3Q2-8Q+100,且已知当产量Q=10时的总成本STC=2400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。 解答：由总成本和边际成本之间的关系。有 STC(Q)= Q3-4 Q2+100Q+C= Q3-4 Q2+100Q+TFC 2400=103-4*102+100*10+TFC