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从小学到大学，我们有 N 种方法（ N 等于正整数）能证明他们相等。比如数列、微积分、无穷级数、极限等等。下面我就举几种方法：
解法一： 0.9 循环 =0.3 循环× 3， 0.3 循环 =1/3 ，而 1/3 × 3=1 。
关于 1 和0.99999999
（循环）大小的比较的分析
首先，我认为 1 和 0.9 九循环是相等的。
解法二：令 A=(0.9999...... )
10A=(9.9999..... )
)X10=(9.999...9 ..) 即是 (0.9999......
)-(0.9999....
10A-A=(9.9999..... .. )=9
A=1
解法三：利用数轴
1 小比 0.99999 循环大。学过夹逼定理你也会知,0.99999...
在数轴找不到一个数比 道 和1 之间不存在任何一个数 ,所以 0.9999...=1 。
等比数列的求和公式是 [a1(1-q^n)]/(1-q) ，那么当 q<1 且 n-> 无穷大的时候，这个式子的
极限就是 a1/(1-q) 。由于循环小数 0.aaaaaaaaa ?? =a/10+a/100+a/1000+a/10000+ ??， 它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且 0.99999999 ??
q=1/10 ，那么就可以用 a1/(1-q) 计算
， 此 时 a1=0.9 ， q=1/10 ， 很 容 易 就 可 以 得 到
设 x=0.999999999999 ??，那么 x/3=0.333333333333 ?? =1/3 ，得 x/3=1/3 x=1 第三种，稍微要绕一点脑筋： 你用竖式计算 1除以 1 （竖式应该会吧，小学学过的） ，不同 的是一开始不要直接商 1，而要商 0，那么余数是 1，添加一个 0变成 10，然后商 9，10-9=1 ， 又得到余数是 1 ，再按照上面的方法进行计算，就会算出来
1/1=0.9999999
??
实数轴上两者之间没有空隙。
解法四：
解法五：极限
0.9999999999 ?? =0.9/(1-1/10)=1 以上就是常见的证明 0.99999999999 ?? =1 的方法。 方法还有很多种。最后结果都是： 0.999999999 ?? =1 。
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即改无穷级数收敛
1； 于
所以 0.9999999......... =1
解法六：无穷级数 0.99999999......
0.9=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009+0.0000009....... An=9/10 的 n 次方。则 Lim （ n-> ∞）∑ An=1;
这些证明看起来完美无缺，天衣无缝。可是假如这些证明都是基于一个错误的前提呢？ 先不说这个错误的前我先从一个比较客观实际的角度来说明这个问提。 题。 但我第一次面对 这个问题的时候，我学过极限， 微积分， 学过无穷级数， 我首先是也是从这些角度去考虑这 些问题的。 但最后从客观实际出发的时候， 我是这么描述这个问题的： 无数颗精子和无数颗 卵子放在一起，只要有一个精子和卵子结合就能产生新的生命。假设精子的个数是无穷个， 卵子的个数也是无穷个，可是一个都没有结合，无论多0.999999......
. 中有多少个 9，整个 少
数还是不能成为 1 。我想 无数个 0)1 ，这个数是有多么的小，即使是无0.0000000..........( 穷
1 的存在。毕竟客观存在是不 小，我们也不能叫它为 0 ，即使是在小，我们也不能否定这个
我不管哪位数学家的研究如何论证无穷小的概
以人的意志为转移的， 念， 也不管是柯普森还 是牛顿还是 魏尔斯特拉斯在数学分析中给出的极限的定义是怎么样的， 客观存在是毋庸置疑 的。由唯物主义辩证法中， 我们可以知道量的积累促成质的飞
不论 0.000000000 （无数） 跃，
0.9999999 （循环）始终还是没有达到质的飞跃。即使这个
1这个数有多小，要是没有他 值， 小到写不出来，那也不代表不存在。
其次，我想强调两个概念，极限值和实数值，但 x-> ∞时， 1/x 的值是趋近与 0 的，所以我们 称但 x-> ∞时， 1/x 的极限值为 0，注意 1/x 只是趋近于 0，而并非 1/x=0 。所以由此我们可
1，而 0.999999（循环）只是趋近以知道极限值和实数值是两个不同的数值概念。
于 9 所以不能说它等于 1 。 最后还是从比较有说服力的角度解释这个问题：
循环的概念不就是无限吗？那 0.9 九循环不就是后面无限个 9 吗？那也就是说 0.9 循环就 是无限接近 1 。或者说无限趋近于
1，既然是无限趋近，那就是永远不可能相等了。此时，
1 减去 0.9
9 ，所以得无限个 0。既然
开始的证明又不攻自破了，这难道是个悖论？其次，如果用做差法比较大小，拿 （无限循环） ，得 0.0000000000 无限个 0。因为是无限个
位数是无
限个 0，尾数就不可能有 1。无限位就是最多了，怎么还能加一？这不实际，互相矛盾。所
以不能以一种观念证明 1是等于 0.9（无限循环），还是大于 0.9 （无限循环） 。 这本身是矛盾 的，矛盾也是宇宙真理。
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前面说到假如之前的证明都是基于一个错误的前提， 现在来解释这里的前提。 前面所有 的证明都是是把 0.9 （循环）当做有理数来看待。其实我们往数的祖坟上刨的话， 0.9九循环就不能算是一个健全的数。有理数是这样定义的：
2014 年6月 10日
所以得出结论：有理数 1和无理数 0.999999 （循环）无法做比较。
整数和分数统称为有理数，但是 0.9 九循环不是整数也不一定是分数。 其实 0.9 九循环是 唯一一个特殊的无限循环小数。因为 0.9 九循环是否能化成分数是一个不确定的结果。有个 理论是： 九分之一等于零点一一循环等。 所以它不一定能化成分数， 从而它就不一定是有理 数，所以他就不一定是实数，从而它就不一定是具体的数。我现在的理解方向：它只是个人
为创造出来的一个虚拟的不存在的数——虽然它从形式上看和 0.3 循环、 0.8 循环等那么那么 类似。所以 0.9（循环）既非有理数，那么为何要将它与有理数 1 来做比较呢？两者既非通一 类型，且是不能化为同一类型的数，我们如何将它做比较呢？
作者：王恒
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