数学物理方程习题解
习题一
1，验证下面两个函数： u(x,y)?ln都是方程
1x2?y2,u(x,y)?exsiny
uxx?uyy?0
的解。
证明：（1）u(x,y)?ln1x?y22 1ux?x2?y2?(?)?21(x?y)2322?2x??xx2?y2x2?y2?x?2xx2?y2uxx???2(x2?y2)2(x?y2)211y22?2y?? 因为uy?x?y?(?)? 3222x?y(x2?y2)2x2?y2?y?2yy2?x2uyy???2222(x?y)(x?y2)2x2?y2y2?x2uxx?uyy?2?2?02222(x?y)(x?y)所以u(x,y)?ln1x?yx22是方程uxx?uyy?0的解。
（2）u(x,y)?esiny 因为
ux?siny?ex,uxx?siny?exuy?e?cosy,uyy??e?siny所以
uxx?uyy?esiny?exxxx
siyn? 0u(x,y)?exsiny是方程uxx?uyy?0的解。
2，证明：u?f(x)g(y)满足方程
uuxy?uxu?y0
其中f和g都是任意的二次可微函数。
证明：因为
u?f(x)g(y)
所以
ux?g(y)?f?(x),uy?f(x)?g?(y)uxy?f?(x)?g?(y)uuxy?uxuy?f(x)g(y)?f?(x)g?(y)?g(y)f?(x)?f(x)?g?(y)?0得证。
3， 已知解的形式为u(x,y)?f(?x?y)，其中?是一个待定的常数，求方程 uxx?4uxy?3uyy?0 的通解。
解：令???x?y则u(x,y)?f(?)
所以ux?f?(?)??,uxx?f??(?)??2
???( uxy???f?? (?),uy?f?(?),uyy?f将上式带入原方程得(??4??3)f??(?)?0
因为f是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以?-4??3?0 从而?1 =3,?2?1， 故u1(x,y)?f1(3x?y),u2(x,y)?f2(x?y)都是原方程的解，f1,f2为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
22u(x,y)?f1(3x?y)?f2(x?y)为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆
的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相
同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x轴。在杆上任意截取位于
[x,x??x]的一段微元，杆的截面积为s，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应?u?u(x,t)与(x??x,t)，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的?x?x?u?u(x,t)与SE(x??x)(x??x,t)，因此微元受杆的截去部分的拉力分别为SE(x)?x?x?u?u(x??x,t)?SE(x)(x,t) 作用力的合力为：SE(x??x)?x?x变）分别是
?2u且合力的正向与坐标轴相同，设x为微元质心的坐标，则质心处的加速度为2(x,t)，
?x由牛顿第二定律有：
?2u?u?u??x?s??x?2(x,t)?sE?x??x??x??x,t??sE?x??x,t?, x?x?x??x?x?x?x约去s，并对右端应用中值定理，得
?2u??u??x???x?2(x,t)?[E?x?]x?x???x?x, 0???1
?x?x?x约去?x，并令?x?0，即得：
???u????u? ?x?Ex?????????t??t??x??x?由于弹性杆是均匀的，??x???（常数），E?x??E（常数）
2?2uE2?u2a?从而2?a，其中（E是杨氏模量，?是体密度）。
?t?x2?5， 一均匀细杆直径为l，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律 dQ?K1(u?u1)dSdt
记杆的体密度为?，比热为C,热传导系数为K.试导出此时温度u满足的微分方程。 解：取杆轴为x，考察杆位于?x1,x2?段在?t1,t2?时间区间上的热平衡，在?t1,t2?时间内，
?x1,x2?段的侧面流入的热量为：
Q1???t1t2x2x1?K1(u?u1)?ldxdt
在点x1，x2处截面流入该段的热量为：
Q2???所以
t2t1t2?u?l2?u?l2K(x1,t)dt,Q3??K(x2,t)dt
t1?x4?x4Q?Q1?Q2?Q3??t2t1?x2x1t2x2?2u?l2K2(x,t)dxdt???K1(u?u1)?ldxdt
t1x1?x4温度升高所吸收的热量：