用二分法求方程的近似解
浙师大附中 叶利民
．内容和内容解析
“用二分法求方程的近似解”是高中数学新课程人教社版《数学》必修第三章函数与方程的第节课，是学生在学习了《方程的根与函数的零点》后，利用函数与方程关系来解决具体问题的一节巩固性课。本课的主要内容是用“二分法”是求一些具体方程的近似解。“二分法”是一种无限逼近与程序化的方法，学习本课内容时，要让学生在学会用二分法求具体方程近似解的同时，进一步巩固数形结合的数学思想，感受无限逼近与算法的数学思想，为今后学习极限与算法埋下伏笔。
本课的重点是用二分法求方程近似解的一般步骤，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
本课的难点是如何利用二分法求给定精确度的方程的近似解． ．目标和目标解析
（）进一步理解函数与方程之间的联系，并能熟练地将方程问题转化为函数问题，会用数形结合的思想来处理问题。教学中要使学生会将求方程根的问题转化为求函数零点的问题，并能利用函数的图象或试值等方法确定方程根所在的初始区间；
（）了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求某些具体方程的近似解。教学中要让学生能按“二分法”的基本步骤不断缩小方程根所在的区间，并能根据精确度要求判断操作何时终止，从而求出符合精度要求的近似值；
（）通过实例理解二分法的概念及本质。在让学生自主探求方程近似解的过程中，鼔励学生勇于探索，不怕计算，培养学生的计算能力和持之以恒的精神；教学中可鼓励学生发现一些生活中能用“二分法”处理的例子，帮助学生进一步理解“二分法”的本质，进而培养学生的应用意识；
（）了解二分法是一种程序化的方法，体会无限逼近与叠代的数学思想，为今后学习极限、算法等后续内容做好准备。
．教学问题诊断与处理方法
本课在教学过程中可能会遇到以下问题：
（）学生对确定方程近似解所在的初始区间存在障碍，其原因是学生对函数() 的图象无法顺利得到。教学中教师应引导学生要充分运用已学的函数零点存在定理，可利用试值法去找两个值并使()·()<，则在[]上至少存在一个零点；或将方程化为，再利用函数与的图象交点来估计方程根所在的区间；或利用计算机及《几何画板》直接作出函数的图象。（课件附后）
（）学生对用“二分法”求方程近似解步骤中的不断取区间中点从而不断缩小方程根所在的区间的过程，对一般学生而言应该不会有思维上的障碍，但在具体操作中往往容易出现书写与取舍上的困难，部分学生会出现畏难情绪。其原因是计算量大、操作过程长，这是学生在以前学习中从未出现过的。解决方法：首先应鼓励学生要树立起不怕难与繁，坚持到底的信心；然后将操作过程表格化，让学生一目了然，如在探求方程的过程中，可设计如下表格：
零点所在区间 （，） （，） （，） （，） （） 区间长度 中点函数值 > < < 还可制作多媒体课件让区间不断缩小的过程在动态变化中展示出来。
（）学生对精确度要求下，如何确定方程的近似解会遇到思维障碍。其原因是以往学习中遇到问题的答案一般都是惟一确定的，而此时的答案可取区间[](< ε）内的任意值。解决方法：让学生在区间内随意取值，然后检验是否符合精确度要求，消除学生疑虑，并可作个统一约定，若以后遇到此类问题时就统一取区间的端点，这样还可给教师改作业带来便利；还可设计一个问题，让学生思考“是否可将求解过程减少一个步骤，只要将区间缩小到符合< ε即终止呢？”通过对此
问题的探究，可得出即为符合精确度要求的近似解，这样不仅可减少一个步
骤，还可消除学生思维障碍，且答案惟一，可谓一举三得。 ．教学支持条件分析
在教学本课时可利用《几何画板》软件及多媒体设备辅助教学。一是利用《几何画板》可有效地解决作函数图象问题，从而为确定方程近似解所在区间提供了最有效的途径；二是利用《几何画板》制作多媒体课件让表格与动态变化融为一体，更有效地解决教学问题诊断中两大问题。（课件附后） ．教学过程设计
【教学流程】