章末质量评估(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
→→→→→→→→
1．对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；→→→→→→
③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是________． →→→
解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立； →→→→→→
对于③：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；
→→→→→→→→→
对于④：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|. 只有②一定不成立． 答案 ②
2．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______. 解析 c－a＝(0，0，1－x)，故(c－c)·(2b)＝2(0，0，1－x)·(1，2，1)＝2(1－x)，结合已 知得2(1－x)＝－2，解得x＝2. 答案 2
→3．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λOG＝→→→
OA＋OB＋OC，则λ＝______.
→→→→→
解析 如图，正方体中，OA＋OB＋OC＋OD＝3OG，所以λ ＝3. 答案 3
→→→
4．空间四边形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，则向量EF与BC、AD________(是、否)共面．
→→→→
解析 如下图所示，EF＝EA＋AD＋DF，
→→→→EF＝EB＋BC＋CF.
→→→→
又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA＝－EB，DF＝－CF，
→→→∴2EF＝AD＋BC， →1→1→∴EF＝AD＋BC.
22→→→
∴EF与AD、BC共面． 答案 是
5．下列命题中，正确命题的个数为______．
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，故①不正确；结合平面法向量的概念，易 知②③④正确． 答案 3
→→→
6．在四面体O－ABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则→
OE可表示为______(用a，b，c表示)． →→1→→11→→
解析 OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)
222
→1→→→→1→1→1→111
＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.
4244244111
答案 a＋b＋c
244
→→→→
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为______．
→→→→1→→1→
解析 如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB
221→
＋AD)，故x，y的值都为.
211答案 ，
22
8．正四棱锥P－ABCD中，高为1，底边长为2，E为BC中点，则异面直线PE与DB所成角为________． 答案
π 3
→→
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为______．
解析 设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴， →DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM＝ (2，－2，1)，
1→→→
D1N＝(2，2，－1)，所以cos〈CM，D1N〉＝－，
945→→
故sin〈CM，D1N〉＝.
9答案
45
9
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为AB的中点，则二面角B－CA1－P的大小为________． 答案
π
6
11．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．
解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)， aaC(－a，0，0)，P(0，－，)，
22
aa→→→
所以CA＝(2a，0，0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a，0)，
22设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，
→CB·na1→→
则cos〈CB，n〉＝＝＝，故〈CB，n〉＝60°， 2→2a·22|CB||n|所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 答案 30°
12．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，|Ax0＋By0＋Cz0＋D|
且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为：d＝；A2＋B2＋C2则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于______． 解析 如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1，1，0)，B(－1， 1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计 11
算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，故d＝
22|2×0＋0－2|25
＝.
522＋1