广东省广州市增城市2016年中考数学一模试卷(解析版)

(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;

(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

【考点】相似三角形的判定与性质;根的判别式;矩形的性质. 【专题】代数几何综合题;压轴题.

【分析】(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;

(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;

(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况,即可求得答案. 【解答】(1)证明:∵b=2a,点M是AD的中点, ∴AB=AM=MD=DC=a,

又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°, ∴∠AMB=∠DMC=45°, ∴∠BMC=90°.

(2)解:存在, 理由:若∠BMC=90°, 则∠AMB+∠DMC=90°, 又∵∠AMB+∠ABM=90°, ∴∠ABM=∠DMC, 又∵∠A=∠D=90°, ∴△ABM∽△DMC, ∴

=

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设AM=x,则=,

整理得:x2﹣bx+a2=0, ∵b>2a,a>0,b>0, ∴△=b2﹣4a2>0,

∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意, ∴当b>2a时,存在∠BMC=90°,

(3)解:不成立. 理由:若∠BMC=90°, 由(2)可知x2﹣bx+a2=0, ∵b<2a,a>0,b>0, ∴△=b2﹣4a2<0, ∴方程没有实数根,

∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质.此题难度较大,解此题的关键是利用相似的性质构造方程,然后利用判别式求解.

25.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),直线y=﹣x+3恰好经过B,C两点 (1)写出点C的坐标;

(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标; (3)点P在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求点P的坐标.

【考点】二次函数综合题.

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【专题】综合题;压轴题.

【分析】(1)由直线y=﹣x+3可求出C点坐标;

(2)由B,C两点坐标便可求出抛物线方程,从而求出抛物线的对称轴和A点坐标;

(3)作出辅助线OE,由三角形的两个角相等,证明△AEC∽△AFP,根据两边成比例,便可求出PF的长度,从而求出P点坐标.

【解答】解:(1)y=﹣x+3与y轴交于点C,故C(0,3).

(2)∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C, ∴解得

, ,

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3), ∴对称轴为x=2, 点A(1,0).

(3)由y=x2﹣4x+3,

可得D(2,﹣1),A(1,0), ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2, 可得△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°,

如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F,

∴AF=AB=1.

过点A作AE⊥BC于点E.

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∴∠AEB=90度. 可得

在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP. ∴

解得PF=2.

或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3, 再得PF=2.

∵点P在抛物线的对称轴上,

∴点P的坐标为(2,2)或(2,﹣2).

【点评】本题前两问考查了二次函数的基本性质,较为简单.第三问结合二次函数的图象考查了三角形的性质,综合性较强.

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