湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

九年级数学上册

第一章 反比例函数

(一)反比例函数

1.自变

()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关

量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;

2.

()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而

得到反比例函数的解析式;

(二)反比例函数的图象与性质

1.函数解析式:(

2.自变量的取值范围:

3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0, 且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线

越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.

越小,图象的弯曲度越大.

(2)图象的位置和性质:自变量近线. 当 当

,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是双曲线的渐

时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小; 时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大.

)在双曲线的另一支

(3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(上.

图象关于直线在

双曲线的另一支上.

对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)

4.k的几何意义: 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB

⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).

如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为

图1 图2 5.说明:

(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一

概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,

两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.

(三)反比例函数的应用

1、求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.

2、反比例函数与一次函数的联系. 3、充分利用数形结合的思想解决问题.

第二章 一元二次方程

(一)一元二次方程

1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为ax2?bx?c?0(a、b、c为常 数,

a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。

2、把ax2?bx?c?0(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项(包括符号)。

(二)一元二次方程的解法

1、直接开平方法:如果方程化成 如果方程能化成

的形式,那么可得

(p≥0)的形式,那么

进而得出方程的根。

2、配方法:配方式

基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程

的右边;④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成左边为一个完全平方式,

右边化为一个常数;两边开方求其根。

?b?b2?4ac 3、公式法x? (注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式)

2a 4、分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”

和“十字相乘”)

(三)一元二次方程根的判别式

判别式⊿=b-4ac与根的关系:

2

当b-4ac>0时,则方程有两个不等的实数根; 当b2-4ac=0时,则方程有两个相等的实数根;

2

当b-4ac≥0时,则方程有两个实数根;

2

当b-4ac<0时,则方程无实数根

(,上述结论反之也成立,但注意都同时要满足二次项系数a≠0)

2

(四)一元二次方程根与系数的关系:

1、根与系数关系:如果一元二次方程ax2?bx?c?0的两根分别为x1、x2, 则有:

bx?x??, 12ax1?x2?c.(韦达定理) a2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根,求另一根;

(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值,特别注意以下公式:

2?(x1?x2)2?2x1x2 ② ①x12?x211x1?x222?? ③(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2 x1x2x1x2 ④|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 ⑤(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|

333 ⑥x1?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2) ⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。

(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:x2?(x?x2)x?x1x2?0,

11

(4)已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程x2?(x?x2)x?x1x2?0

的两根。

(五)一元二次方程的应用

1、配方法作用:一元二次方程配方可以解该方程:

ax2?bx?c?0(a≠0)(两边同时除以a得)

bcb x2?x??0(一次项系数除以2并写成完全平方式得)

aaa(可作为公式记

忆)

。。。。。。

2、二次代数式配方可以求最值(应用题常考): 二次代数式 ax2?bx?c b 提取二次项系数a得 ?a(x2?x)?c (不能同时除以二次项系数a)

ab24ac?b2 合并常数项得 ?a(x?)? (作为公式记忆,一步化到位)

2a4a

4ac?b2b2此时可知当x??时,ax?bx?c有最大值(a?0)最大值为

4a2a4ac?b2b2当x??时,ax?bx?c有最小值(a.?0)最小值为

4a2a3、平均增长率问题:(设月增长率为x)

①一月产量为a,二、三月平均增长率为x,三月产量为b,则有a(1?x)?b

②一月产量为a,二、三月平均增长率为x,第一季度产量为b,则有a?a(1?x)?a(1?x)?b

4、翻几番增长率问题:(设年增长率为x)

22

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4