九年级数学上册
第一章 反比例函数
（一）反比例函数
1．自变
（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关
量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．
（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而
得到反比例函数的解析式；
（二）反比例函数的图象与性质
1．函数解析式：（
）
2．自变量的取值范围：
3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0， 且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．
越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：自变量近线． 当 当
，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
，
）在双曲线的另一支
（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（上．
图象关于直线在
双曲线的另一支上．
对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）
4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB
⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为
．
图1 图2 5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一
概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，
两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（三）反比例函数的应用
1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题．
第二章 一元二次方程
（一）一元二次方程
1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为ax2?bx?c?0（a、b、c为常 数，
a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2、把ax2?bx?c?0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。
（二）一元二次方程的解法
1、直接开平方法：如果方程化成 如果方程能化成
的形式，那么可得
(p≥0)的形式，那么
；
进而得出方程的根。
2、配方法：配方式
基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程
的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式，
右边化为一个常数；两边开方求其根。
?b?b2?4ac 3、公式法x? （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）
2a 4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”
和“十字相乘”）
（三）一元二次方程根的判别式
判别式⊿=b-4ac与根的关系：
2
当b-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根；
2
当b-4ac≥0时，则方程有两个实数根；
2
当b-4ac<0时，则方程无实数根
（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a≠0）
2
（四）一元二次方程根与系数的关系：
1、根与系数关系：如果一元二次方程ax2?bx?c?0的两根分别为x1、x2， 则有：
bx?x??, 12ax1?x2?c.（韦达定理） a2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值，特别注意以下公式：
2?(x1?x2)2?2x1x2 ② ①x12?x211x1?x222?? ③(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2 x1x2x1x2 ④|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 ⑤(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|
333 ⑥x1?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2) ⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x2?(x?x2)x?x1x2?0，
11
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x2?(x?x2)x?x1x2?0
的两根。
（五）一元二次方程的应用
1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：
ax2?bx?c?0（a≠0）（两边同时除以a得）
bcb x2?x??0（一次项系数除以2并写成完全平方式得）
aaa（可作为公式记
忆）
。。。。。。
2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）： 二次代数式 ax2?bx?c b 提取二次项系数a得 ?a(x2?x)?c （不能同时除以二次项系数a）
ab24ac?b2 合并常数项得 ?a(x?)? （作为公式记忆，一步化到位）
2a4a
4ac?b2b2此时可知当x??时，ax?bx?c有最大值（a?0）最大值为
4a2a4ac?b2b2当x??时，ax?bx?c有最小值（a.?0）最小值为
4a2a3、平均增长率问题:（设月增长率为x）
①一月产量为a，二、三月平均增长率为x，三月产量为b，则有a(1?x)?b
②一月产量为a，二、三月平均增长率为x，第一季度产量为b，则有a?a(1?x)?a(1?x)?b
4、翻几番增长率问题：（设年增长率为x）
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