不等式题型分类解析(2016版)
一．不等式的性质：
1.应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：
(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d(同向可加) (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc
a?b?0,c?d?0?ac?bd(同向同正可乘) (5)倒数法则：a?b,ab?0?1a?1b(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1)
2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3.应用不等式性质证明不等式
例1：对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则11a?b； ⑤若a?b?0,则ba?ab； ⑥若a?b?0,则a?b； ⑦若c?a?b?0,则ac?a?b11c?b； ⑧若a?b,a?b，则a?0,b?0
其中正确的命题是____________
例2：a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( ) A．a+
11cc2a?baa?ba?b?b B．a?b C．a?2b?b D．2?ab?2aba?b
例3：下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2?14)?lgx(x?0) B．sinx?1sinx?2(x?k?,k?Z) C．x2?1?2|x|(x?R) D．1x2?1?1(x?R) 真题：
【2012湖南卷文】设 a＞b＞1，c?0 ，给出下列三个结论： ①
ca＞cccb ；② a＜b ； ③ logb(a?c)?loga(b?c)， 其中所有的正确结论的序号是____________
1
例4：已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是__________。
3)2?f(1)?5，例5：f(x)?ax2?bx(a?0)，已知函数满足1?f(?1)?2，则f(?的取值范围_____
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 例6：设a、b都是正实数，比较?
abba例7：设a、b都是正实数，且a?b，比较ab与ab的大小
?a??b?????与a?b的大小 b???a?212212
例8：设a?5，则a?3?a?4与a?4?a?5的大小关系为
a2?b2a?b2ab例9：设a，b是不相等的正数，A?，G?ab，H?，Q?，试比较A、G、
22a?bH、Q的大小．
真题：
?1?【2012上海卷文】设a?log13，b???，c?23，则（ ）
?3?2A．a?b?c
B．c?b?a C．c?a?b
D．b?a?c
【2012四川卷文】设P=log23，Q=log32，R=log2(log32)，则（ ）
A．R＜Q＜P B．P＜R＜Q C．Q＜R＜P D．R＜P＜Q
0.21
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三.不等式的解法
题型1：一元二次不等式解法及相关问题
一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：
设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac则不等式
2的解的各种情况如下表： 二次函数 ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集 x1,x2(x1?x2) bx1?x2?? 2a ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? ? R ?xx 21?x?x2? ? 例10：一元二次不等式ax＋bx＋2?0的解集是(－
11,)，则a＋b的值是__________ 23例11：关于x的不等式y?log2?ax?ax?1对所有实数x∈R都成立，则a的取值范围__________
2例12：若关于x的不等式x?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ?2?真题：
??),若关于x的不等式f(x)?c的b?R)的值域为[0，【2012江苏】已知函数f(x)?x2?ax?b(a，m?6),则实数c的值为________. 解集为(m，【2015．上海理17】记方程①：x2?a1x?1?0，方程②：x2?a2x?2?0，方程③：x2?a3x?4?0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
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