上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。
jw上式中H(e)是w的偶函数,相位函数是w的奇函数,
?1,n?0,14. 设x(n)??将x(n)以4为周期进行周期延拓,形成周期序列x(n),画出x(n)和
?0,其它x(n)的波形,求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。
解:
画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。
X(k)以4为周期,或者 X(k)以4为周期
5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示,不直接求出X(e),完成下列运算: (1)X(e);
?j0jwjw(2)
???X(ejw)dw;
2?(5)解:
???X(ejw)dw
(1)X(e)??j0n??3?x(n)?6
7(2)
???X(ejw)dw?x(0)?2??4?
27?(5)
???X(e)dw?2??x(n)?28?
jwn??326. 试求如下序列的傅里叶变换: (2)x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1); 22n(3)x3(n)?au(n),0?a?1 解:
(2)
(3) X3(e)?7. 设:
(1)x(n)是实偶函数,
jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae(2)x(n)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,x(n)的傅里叶变换性质。 解: 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
(1)x(n)是实、偶函数,X(e)?两边取共轭,得到 因此X(ejw)?X*(e?jw)
jwn????x(n)e??jwn
上式说明x(n)是实序列,X(e)具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么 因此X(e)?jwjwn????x(n)coswn
?该式说明X(e)是实函数,且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 (2)x(n)是实、奇函数。
上面已推出,由于x(n)是实序列,X(e)具有共轭对称性质,即 由于x(n)是奇函数,上式中x(n)coswn是奇函数,那么
jwjwjwn?????x(n)coswn?0
?因此X(e)?jjwjwn????x(n)sinwn
这说明X(e)是纯虚数,且是w的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: HR(e)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。 解:
jwjw12. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1,输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2),完成下面各题:
(1)求出系统输出序列y(n);
(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解: (1) (2)
13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t),式中f0?100Hz,以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采样,得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n),试完成下面各题: (1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?); (2)写出xa(t)和x(n)的表达式;
(3)分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解: (1)
上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数?函数,它的傅里叶变换可以 表示成:
?a(t)?(2) x(3)
n????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????式中?s?2?fs?800?rad/s 式中w0??0T?0.5?