28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a?1。
n?1时，c内有极点a,
n=0时，c内有极点a,0， 所以 又因为 所以
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解： （2）X(k)???(n)Wn?0N?1knN???(n)?1,k?0,1,?,N?1
n?0N?1（4）X(k)??Wn?0N?1knN1?W?1?WkmNkN?e?j?Nk(m?1)sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)2?2?sin(2??NN?1?jmn?jkn1jmn?2??kn（6）X(k)??cos?mn??WN??(eN?eN)eN
?N?n?0n?02N?1（8）解法1 直接计算
解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为 所以 即
????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()2?2?2?2?j(w?k)j(w?(N?k)j(w?k)j(w?k)2j??2j??0000NNNN1?e1?e?1?e??1?e?结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。
（10）解法1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到 故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WN当k?0时，可直接计算得出X（0） 这样，X（k）可写成如下形式：
解法2 k?0时， k?0时， 所以， 即
2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m??N?j?（1）X(k)??e,k?N?m;
?2?0,其它k???Nj???2je,k?m??N?j?je,k?N?m （2）X(k)???2?0,其它k??解： （1） （2）
3. 长度为N=10的两个有限长序列
作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)。
解：
、（b）、（c）所示。 x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为: 对每个序列作20点DFT,即
如果
试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
如前所示，记f(n)?x(n)*y(n)，而f(n)?IDFT[F(k)]?x(n)?y(n)。fl(n) 长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)?fl(n)所以
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：
（1）已知F?50HZ （2）Tmax?1fminTpT?11??0.5ms 2fmax2?103（3）Nmin??0.02s?40 ?30.5?10（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。
（1）求V； （2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道 因为ylm(n)长度为
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， ym(n)?ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。
5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解：
将上式进行Z变换
（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。 （2）将H(z)的分母进行因式分解
按照上式可以有两种级联型结构：
11?z?113(a) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示
11?z?113(b) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开
根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2. 设数字滤波器的差分方程为
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解：
将差分方程进行Z变换，得到
（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将H(z)的分子和分母进行因式分解： 按照上式可以有两种级联型结构：
z?1?a(a) H1(z)?
1?az?1画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。
z?1?a(b) H1(z)?
1?bz?1画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。 3. 设系统的系统函数为
试画出各种可能的级联型结构。 解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。 （1） H1(z)?画出级联型结构如题3解图（a）所示●。
4?1?z?1?1?0.5z?1，
1?1.414z?1?z?2（2） H1(z)?, ?11?0.5z画出级联型结构如题3解图（b）所示。
4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解：
(d) h(n)?h1(n)?[h2(n)?h3(n)?h4(n)]?h5(n) 5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解：