2010年广州市高二数学竞赛试题doc

6?5?x?6?5?x??10y???∴ ?. ?6?y6?y?6?y?2x2y2??1?y?0?. 化简得

259x2y2??1?y?0?. ∴ 动点P的轨迹方程为

259(2)由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时,点P到直线l距离的最大.

x2y2??1, 设与直线l:x?y?6?0平行的直线方程为x?y?k?0,代入

259得 34x?50kx?25k?225?0,①

22由??2500k?3400k?9?0,

22??2解得k?34,由k?0,得k??34.

故点P到直线l距离的最大值为k?62??34?62?32?17.

把k??34代入①式,可解得点P的坐标为??

14. (本小题满分20分)

?2534934?,. ??34??342解:(1)当a?1时,f(x)?x2?|lnx?1|,当x?e时,f(x)?x?lnx?1,f?(x)?2x?1 x令x?1,得f(1)?2,f?(1)?1, 所以切点为(1,2),切线的斜率为1,

所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为:x?y?1?0. (2)①当x?e时,f(x)?x2?alnx?a,f?(x)?2x?a (x?e). x?a?0,?f(x)?0恒成立. ?f(x)在[e,??)上为增函数.

故当x?e时,ymin?f(e)?e.

2 ②当1?x?e时,f(x)?x?alnx?a,f?(x)?2x?2a2aa?(x?)(x?)(1?x?e) xx22 (ⅰ)当

a?1,即0?a?2时,若x?(1,e)时,f?(x)?0,所以f(x)在区间[1,e)上为增函数.故当x?1时,2ymin?1?a,且此时f(1)?f(e).

aa?e,即2?a?2e2时,若x?(1,)时,f?(x)?0; 22a,e)时,f?(x)?0, 若x?(2(ⅱ)当1?

aa)上为减函数,在(,e]上为增函数, 22aa3aaa?ln,且此时f()?f(e). 故当x?时,ymin?22222a(ⅲ)当?e;即a?2e2时,若x?(1,e)时,f?(x)?0,所以f(x)在区间[1,e]上为减

2函数,故当x?e时,ymin?f(e)?e2. 综上所述,当a?2e2时,f(x)在[e,??)和[1,e)上的最小值都是e2,

所以f(x)在区间[1, 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(e)?e2;

a3aaaa)??ln,而f()?f(e), 22222a3aaa)??ln. 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(2222当0?a?2时,f(x)在[e,??)时最小值为e2,在[1,e)时的最小值为f(1)?1?a, 而f(1)?f(e), 所以f(x)在?1,???上的最小值为f(1)?1?a.

当2?a?2e2时,f(x)在[1,e)时的最小值为f(所以函数y?f(x)的最小值为ymin?1?a,?3aaa????ln,2?222e,??0?a?2,2?a?2e2, a?2e2.15.(本小题满分20分)

解:(1)令x?1,y?0,?f?1??f?0??f?1??f?1?,又?f(1)?5,?f?0??2. 2令x?0,得 f(0)f(y)?f(y)?f(?y),即2f(y)?f(y)?f(?y)

?f(y)?f(?y)对任意的实数y总成立, ?f?x?为偶函数. (2)令x?y?1,得 f?1?f?1??f?2??f?0?,? ?a1?2f(2)?f(1)?2517?f(2)?2,?f(2)?. 44175??6. 22令x?n?1,y?1,得f(n?1)f(1)?f(n?2)?f(n),

?f(n?2)?5f(n?1)?f(n). 2?5??an?1?2f?n?2??f?n?1??2?f?n?1??f?n???f?n?1??4f?n?1??2f?n??2??2[2f(n?1)?f(n)]?2an(n…1).

?{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列. ∴an?6?2n?1.

(3)结论:f(x1)?f(x2).

证明:∵y?0时,f(y)?2,

∴f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)?2f(x),即f(x?y)?f(x)?f(x)?f(x?y). ∴令x?ky(k?N+),故?k?N+,总有f[(k?1)y?]f(ky?)f(k?y)成立. f?[(ky 则

f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]?f[(k?1)y]?f[(k?2)y]???f(y)?f(0)?0∴对于k?N+,总有

f[(k?1)y]?f(ky)成立.

∴对于m,n?N+,若n?m,则有f(ny)?f???n?1?y?????f(my)成立. ∵x1,x2?Q,所以可设|x1|?q1q,|x2|?2,其中q1,q2是非负整数,p1,p2都是正整数, p1p2则|x1|?q1p2pq1,t?q1p2,s?p1q2,则t,s?N+. ,|x2|?12,令y?p1p2p1p2p1p2∵|x1|?|x2|,∴t?s,∴f(ty)?f(sy),即f(|x1|)?f(|x2|). ∵函数f(x)为偶函数,∴f(|x1|)?f(x1),f(|x2|)?f(x2).

∴f(x1)?f(x2).

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