第一章 质点运动学
1–2 任意时刻at=0的运动是 运动；任意时刻an=0的运动是 运动；任意时刻a=0的运动是 运动；任意时刻at=0，an=常量的运动是 运动。
解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。
1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （g?10m/s2)。
2v0sin2?302?sin60?解：此沟的宽度为R??m?453m
g101–4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为x?2t，y?9?2t2，位移的单位为m，试写出t?1s时质点的位置矢量__________；t?2s时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。
解：将t?1s代入x?2t，y?9?2t2得x?2m，y?7m
t?1s故时质点的位置矢量为r?2i?7j（m）
由质点的运动方程为x?2t，y?9?2t2得质点在任意时刻的速度为
dxdx?2m/s，vy???4tm/s t?2s时该质点的瞬时速度为v?2i?8j（m/s） dtdtdvydvx??4m/s2 质点在任意时刻的加速度为ax??0，ay?dtdtt?2s时该质点的瞬时加速度为?4jm/s2。 vx?31–6 一质点作半径R=1.0m的圆周运动，其运动方程为??2t?3t，θ以rad计，t以s计。则当
t=2s时，质点的角位置为________；角速度为_________；角加速度为_________；切向加速度为__________；
法向加速度为__________。
3解： t=2s时，质点的角位置为 ??2?2?3?2?22rad
d?3由??2t?3t得任意时刻的角速度大小为 ???6t2?3
dtt=2s时角速度为 ??6?22?3?27rad/s
任意时刻的角速度大小为 ??d??12t dtt=2s时角加速度为 ??12?2=24rad/s2
t=2s时切向加速度为 at?R??1.0?12?2?24m/s2 t=2s时法向加速度为 an?R?2?1.0?272?729m/s2；
1–8 一个质点作圆周运动时，下列说法中正确的是[ ]。
A．切向加速度一定改变，法向加速度也改变B．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 C．切向加速度可能不变，法向加速度不变 D．切向加速度一定改变，法向加速度不变
解：无论质点是作匀速圆周运动或是作变速圆周运动，法向加速度an都是变化的，因此至少其方向在不断变化。而切向加速度at是否变化，要视具体情况而定。质点作匀速圆周运动时，其切向加速度为零，保持不变；当质点作匀变速圆周运动时，at值为不为零的恒量，但方向变化；当质点作一般的变速圆周运动时，at值为不为零变量，方向同样发生变化。由此可见，应选（B）。
221–10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为r?ati?btj（其中a、b为常量），则该质点作[ ]。 A．匀速直线运动 B．变速直线运动 C．抛物线运动 D．一般曲线运动
22解：由r?ati?btj可计算出质点的速度为v?2ati?2btj，加速度为a?2ai?2bj。因质点的速度变化，加速度的大小和方向都不变，故质点应作变速直线运动。故选（B）。
1
231–18 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x?4.5t?2t（SI）。试求：（1）第2s内的平
均速度；（2）第2s末的瞬时速度；（3）第2s内的路程。
23解：（1）将t=1s代入x?4.5t?2t得第1s末的位置为x1?4.5?2?2.5m 23将t=2s代入x?4.5t?2t得第2s末的位置为 x2?4.5?22?2?23?2.0m
则第2s内质点的位移为 ?x?x2?x1?2.0m-2.5m??0.5m 第2s内的平均速度 v??x?0.5??-0.5m/s 式中负号表示平均速的方向沿x轴负方向。 ?t1dx?9t?6t2将t?2s代入上式得第2s末的瞬时速度为 dt（2）质点在任意时刻的速度为 v?v?9?2?6?22??6m/s式中负号表示瞬时速度的方向沿x轴负方向。
（3）由v?dx?9t?6t2?0得质点停止运动的时刻为t?1.5s。由此计算得第1s末到1.5s末的时dt间内质点走过的路程为s1?x(1.5)?x(1)?4.5?1.52?2?1.53?2.5?0.875m
第1.5s末到第2s末的时间内质点走过的路程为
s2?x(2)?x(1.5)?4.5?2?2?2?4.5?1.5?2?1.5??1.375m则第2s内的质点走过的路程为s?s1?2323
s2?0.875?1.375?2.25m
1–20 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即
dv?Kx
式中K为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 v?v0e??Kv2，
dtdvdvdxdvdv??Kv2得?v??Kv2 即??Kdx dtdxdtdxvv??Kdx 得v?v0e?Kx
其中v0是发动机关闭时的速度。
证明：由
上式积分为
?v0vdv?0x1–22 长为l的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A下滑速度为匀速v，如图1-4所示。当下端
B离墙角距离为x（x 解：建立如图所示的坐标系。设A端离地高度为y。?AOB为直角三 222角形，有x?y?l 方程两边对t求导得2xy y A dxdy?2y?0 dtdtl2?x2dxydyy所以B端水平速度为v ???v?xdtxdtxB端水平方向加速度为 l d2xdt2?xdy/dt?ydx/dtx2v??lv2 3xO 图1-4 2B x x 1–23 质点作半径为R?3m的圆周运动，切向加速度为（1）t?1s时的速度at?3ms?2，在t?0时质点的速度为零。试求：与加速度；（2）第2s内质点所通过的路程。 解：（1）按定义at?vttdv，得 dv?atdt，两端积分，并利用初始条件，可得dv?atdt?atdt 000dt??? 2 v?att?3t 当t?1s时，质点的速度为v?3m/s，方向沿圆周的切线方向。 v29t2??3t2m/s2 任意时刻质点的法线加速度的大小为：an?RR任意时刻质点加速度的大小为a?2at2?an?9?9t4m/s2 an3t2任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有tan????t2 at3当t?1s时有a?9?9?14?32m/s2，tan??1 注意到at?0。所以得??45? （2）按定义v?ds，得ds?vdt，两端积分可得ds?vdt?3tdt dt???故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为s?32t?C 22233其中C为积分常数。则第2s内质点走过的路程为：?s?s(2)?s(1)?(?22?C)?(?12?C)?4.5m 1–24 一飞机相对于空气以恒定速率v沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为V?kv(k??1)。求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少？ 解：依题意，设飞机沿如图1-5所示的ABCD矩形路径运动，设矩形每边长为l，如无风时，依题意有 D V v v A 图1-5 V v v V B V C T?4l （1） v当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB运动时的速度为 v?V?v?kv，飞机从A飞到B所花时间为 l （2） t1?v?kv飞机沿CD运动时的速度为v?V?v?kv，飞机从C飞到D所花时间为 l（3） t2?v?kv 飞机沿BC运动和沿DA运动所花的时间是相同的，为了使飞机沿矩形线运动，飞机相对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角，使得飞机速度时的速度v在水平方向的分量等于?kv，故飞机沿BC运动和沿 DA运动的速度大小为v2?k2v2，飞机在BC和DA上所花的总时间为t3?综上，飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间，即周期为 2lv?kv222 T??t1?t2?t3?ll2l?? （5） 222v?kvv?kvv?kv2利用（1）式，（5）式变为T??2T(1?1?k2)4(1?k)?T(4?k2)4(1?k)2 3k2T飞机在有风时的周期与无风时的周期相比，周期增加值为?T?T?T?? ?T?244(1?k) 3 T(4?k2)