第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)， 圆：(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)，
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d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的
判别式为Δ.
方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1(r1>0)， 圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0)．
方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 常用结论 1．圆的切线方程常用结论
几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 2
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几何法 代数法 d (2)过圆(x－a)＋(y－b)＝r上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0 －b)(y－b)＝r. (3)过圆x＋y＝r外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条． (2)当两圆相交时，两圆方程(x，y项系数相同)相减便可得到公共弦所在直线的方程． 二、教材衍化 1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)＋y＝2有公共点，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2， 所以 |a－0＋1|1＋（－1） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 ≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案：[－3，1] 2．圆x＋y－4＝0与圆x＋y－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． ??x＋y－4＝0，解析：由?2 2 ?x＋y－4x＋4y－12＝0，? 2 2 2 2 2 2 得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0. 又圆x＋y＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为为4－2＝2，所以所求弦长为22. 答案：22 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x＋y＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视分两圆内切与外切两种情形； 2 2 2 2 22 ＝2.由勾股定理得弦长的一半 (2)忽视切线斜率k不存在的情形； (3)求弦所在直线的方程时遗漏一解． 1．若圆x＋y＝1与圆(x＋4)＋(y－a)＝25相切，则常数a＝________． 解析：两圆的圆心距d＝（－4）＋a，由两圆相切(外切或内切)，得 （－4）＋a＝5＋1或（－4）＋a＝5－1，解得a＝±25或a＝0. 答案：±25或0 2．已知圆C：x＋y＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________． 解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所|k×0－0＋1－3k|4以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为22 3k＋（－1） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x＝3或4x＋3y－15＝0. 答案：x＝3或4x＋3y－15＝0 3??22 3．若直线过点P?－3，－?且被圆x＋y＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为 2??________． 解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故3 该直线被圆截得的弦长为8，满足题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋＝ 23|6k－3| k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，则圆心到直线的距离d＝，则22 22k＋13 ＝8，解得k＝－，所以直线方程为3x＋4y＋15＝0. 4 综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0. 答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0 直线与圆的位置关系(多维探究) 角度一 直线与圆位置关系的判断 (一题多解)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x＋(y－1)＝5的位置关系是 ( ) A．相交 C．相离 B．相切 D．不确定，与m的取值有关 2 2 ?|6k－3|?25－??2 ?2k＋1? 2