数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.

★★如图,椭圆C:x2a2+y2b2

=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,2231直线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.

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★★椭圆C:2+x2y2b2

a=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明11kk1+

kk2为定值,并求出这个定值. - 2 -

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:2+x2y2b2

a=1(a>b>0)的离心率为32,直线y=x被椭圆C截得的线段长为(Ⅰ)求椭圆C的方程;

4105. (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点

D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.

(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;

(ii)求△OMN面积的最大值.

★★已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形. (Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E, (ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;

(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

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