2016-2017下八年级数学培优(1)
班级:_______ 姓名:___________ 座号:________
1.已知四边形ABCD,从下列条件中:①AB∥CD;②BC∥AD;③AB=CD;④BC=AD;⑤∠A= ∠C;⑥∠B=∠D中,任取其中两个,可以得到“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况有( B ).
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
2.如图所示,已知AO是△ABC中∠BAC的角平分线,BD⊥AO的延长线于D,E 是BC的中点.AB=9,AC=3,则DE= 1(AB-AC). =3 2
3.以锐角△ABC的边AC、BC、AB向外作等边△ACD、等边△BCE、等边△ABF,连接DF、EF, 如图所示.求证:四边形DCEF是平行四边行.
∵∠DAF+∠FAC=∠FAC+∠CAB=60°, ∴∠DAF=∠CAB, 又∵AD=AC,AF=AB, ∴△ADF≌△ACB ∴DF=CB, 又∵CB=CE, ∴DF=CE, 同理可证EF=AC,CD=AC, ∴EF=CD,
∴四边形CDFE是平行四边形
4.如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线,交AD于E点、交BC于F点.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.证明:四边形ABCD为平行四边形.
证明:延长AC,在C上方取N,A下方取M,使AM=AE,CN=CF,则由已知可得PM=PN,易证△PME≌△PNF,且△AME,△CNF都是等腰三角形. ∴∠M=∠N,∠MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC,
可证得△PAE≌△PCF,得PA=PC, 再证△PED≌△PFB.得PB=PD. ∴ABCD为平行四边形.
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5.如图,△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P,求证:∠BPM=45°.
解:如图,过M作ME∥AN,使ME=AN,连NE,BE, 则四边形AMEN为平行四边形, ∴NE=AM,ME⊥BC, ∵AN=MC, ∴ME=CM,
在△BEM和△AMC中,
ME=MC∠EMB=∠MCA=90°BM=AC, ∴△BEM≌△AMC(SAS),
∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4, ∵∠1+∠3=90°,
∴∠2+∠4=90°且BE=NE,
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45°, ∵AM∥NE,
∴∠BPM=∠BNE=45°.
6.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F. (1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
(1)证明:如图1,∵AF平分∠BAD, ∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F, ∴∠CEF=∠F. ∴CE=CF.
(2)解:连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF=45°, ∵∠DCB=90°,DF∥AB, ∴∠DFA=45°,∠ECF=90° ∴△ECF为等腰直角三角形, ∵G为EF中点,
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∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∴△ABE为等腰直角三角形,AB=DC, ∵BE=DC,
∴∠CEF=∠GCF=45°, ∴∠BEG=∠DCG=135° ∴△BEG≌△DCG, ∴BG=DG, ∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,∴∠BGE+∠DGE=90°, ∴△DGB为等腰直角三角形,∴∠BDG=45°, (3)解:延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形 ∴∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形 ∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60° ∵FG=CE,CE=CF,CF=BH ∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD, ∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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