中档大题规范练
中档大题规范练1 三角函数
1.(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；
a2
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
4(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，
故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2
(2)解 由S＝得absin C＝，
424
11
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
22由sin B≠0，得sin C＝cos B. π
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
2ππ
当B＋C＝时，A＝；
22ππ
当C－B＝时，A＝. 24ππ
综上，A＝或A＝.
24
2.(2016·北京)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
解 (1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2?
π22?2ωx＋?， sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin?4??2?2?
2π
由ω＞0，f(x)的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.
2ω
π2x＋?， (2)由(1)得f(x)＝2sin?4??πππ
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
2423ππ
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
88
3ππ
－＋kπ，＋kπ?(k∈Z). 即f(x)的单调递增区间为?8?8?3.已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间；
π
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵
4坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的最大值及取得最大值时x的集合. 解 (1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 π
＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)，
4πππ
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
242π3π
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
88
π3π
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
88π
(2)由已知，得g(x)＝2sin(x＋)，
4
πππ
∴当sin(x＋)＝1，即x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
442π
也即x＝2kπ＋(k∈Z)时，g(x)max＝2.
4
π
∴当{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}时，g(x)的最大值为2.
4
cos Acos Bsin C
4.(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
abc(1)证明：sin Asin B＝sin C； 6
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
5(1)证明 根据正弦定理，可设 abc＝＝＝k(k>0)， sin Asin Bsin C
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
cos Acos Bsin C代入＋＝中，有
abccos Acos Bsin C＋＝，变形可得 ksin Aksin Bksin C
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C. 6
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
5b2＋c2－a23
cos A＝＝.
2bc54
所以sin A＝1－cos2A＝.
5
由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 443
所以sin B＝cos B＋sin B.
555sin B故tan B＝＝4.
cos B
5.已知向量m＝(3sin x，cos x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积.
解 (1)f(x)＝m·n＝3sin xcos x＋cos2x ＝
311
sin 2x＋cos 2x＋ 222
π1＝sin(2x＋)＋，
62
πππ
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
262ππ
可得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
36
ππ
∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
36π1
(2)∵f(A)＝1，∴sin(2A＋)＝，
62ππ13π
∵0 666π5ππ ∴2A＋＝，∴A＝. 663由a2＝b2＋c2－2bccos A，