版《步步高》高考数学大二轮总复习 专题二 函数与导数第 讲

第3讲 导数及其应用

1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,

f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取

值范围是___________________________.

2.(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是________.

3.(2014·辽宁改编)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.

4.(2014·课标全国Ⅰ改编)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是________.

①(2,+∞);②(-∞,-2);③(1,+∞);④(-∞,-1).

1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值?最值?是高考的常见题型.

热点一 导数的几何意义

1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同. 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,

f(1))处的切线过点(2,7),则a=____________.

(2)(2015·徐州市质量诊断)设函数f(x)=ax3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l与直线x-6y-7=0垂直,则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________.

思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.

跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与5

曲线C2:x2+y2=的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互

2相垂直,则实数a的值是________. 热点二 利用导数研究函数的单调性

1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.

2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性. 3x2+ax例2 (2015·重庆)设函数f(x)=(a∈R).

ex(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.

思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域. (2)求导函数f′(x).

(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0;

②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.

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跟踪演练2 (1)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.

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(2)若函数f(x)=-x3+x2+2ax在[,+∞)上存在单调递增区间,则a323的取值范围是________.

热点三 利用导数求函数的极值、最值

1.若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.

2.设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.

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