第3讲 导数及其应用
1．(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，
f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取
值范围是___________________________．
2．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．
3．(2014·辽宁改编)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
4．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是________．
①(2，＋∞)；②(－∞，－2)；③(1，＋∞)；④(－∞，－1)．
1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值?最值?是高考的常见题型.
热点一 导数的几何意义
1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同． 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，
f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝____________.
(2)(2015·徐州市质量诊断)设函数f(x)＝ax3＋3x，其图象在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为________．
思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与5
曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互
2相垂直，则实数a的值是________． 热点二 利用导数研究函数的单调性
1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性． 3x2＋ax例2 (2015·重庆)设函数f(x)＝(a∈R)．
ex(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f′(x)．
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
12
跟踪演练2 (1)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
2112
(2)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞)上存在单调递增区间，则a323的取值范围是________．
热点三 利用导数求函数的极值、最值
1．若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．