当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数; 当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数; 当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-∞)内为增函数.
10.解 (1)∵函数f(x)=x2
8
-ln x,
∴f′(x)=x1
4-x,
令f′(x)=0得x=±2, ∵x∈[1,3],
当1
∴f(x)在(1,2)上是单调减函数, 在(2,3)上是单调增函数,
∴f(x)在x=2处取得极小值f(2)=1
2
-ln 2;
1)和(0,+19
又f(1)=,f(3)=-ln 3,
88
19
∵ln 3>1,∴-(-ln 3)=ln 3-1>0,
88∴f(1)>f(3),
11
∴x=1时f(x)的最大值为,x=2时函数取得最小值为-ln 2.
821
(2)由(1)知当x∈[1,3]时,f(x)≤,
8故对任意x∈[1,3],f(x)<4-at恒成立,
131
只要4-at>对任意t∈[0,2]恒成立,即at<恒成立,记g(t)=at,
88
t∈[0,2].
?
∴?31?g?2?<8,g?0?<,318
31
解得a<,
16
∴实数a的取值范围是(-∞,
31). 16
11.20
解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,可知-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,
f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20. 1
12.(0,)
2
解析 f′(x)=ln x+1-2ax(a>0),
ln x+1
问题转化为a=在(0,+∞)上有两个实数解.
2xln x+1ln x,则g′(x)=-2. 2x2x设g(x)=
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)在x=1处取1
得极大值也是最大值,即g(x)max=g(1)=.
2
1
注意g()=0,当x>1时,g(x)>0,则g(x)的大致图象如图所示.
e
1ln x+1