椭圆与双曲线常见题型归纳
一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型
例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线y?kx?1与C交于A,B两点。
（Ⅰ）写出C的方程; （Ⅱ）若OA?OB，求k的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?3)，，(03)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?22?(3)2?1，
2y2?1． 故曲线C的方程为x?4?2y2?1，?x?（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足 ? 4?y?kx?1.?消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0， 故x1?x2??2k3，xx??． 12k2?4k2?4若OA?OB，即x1x2?y1y2?0． 而y1y2?k2x1x2?k(x1?x2)?1，
33k22k2?2?2?1?0， 于是x1x2?y1y2??2k?4k?4k?42化简得?4k?1?0，所以k??1． 2x2?y2?1的左、右焦点. 例2．设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线
l的斜率k的取值范围
例2．解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2???3,0，设P?x,y?，则
?PF1?PF2??3?x,?y,???x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?222?2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值1当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值
解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???23,0，设P?x,y?，则
22?PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2?PF1?PF2?F1F22PF1?PF2
?221?x?3?y2?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?kx?21???联立?x2，消去y，整理得：?k2??x2?4kx?3?0
24????y?1?4∴x1?x2??4k1k2?4??,x1?x2?31k2?4
由???4k??4?k?002331?2得：或 k??k??3?4k?3?0?224?又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0 ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
?k2?1?8k2??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
111k2?k2?k2?44423k2?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵
11k2?k2?443故由①、②得?2?k??33或?k?2 22x2?y2?1的左、右焦点，B(0,?1)． 例3． 设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;
?的值； （Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且BF1??CF1，求
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求?PBF1的周长的最大值.
例3．解：（Ⅰ）易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0,设P?x,y?,则
?PF1?PF2??3?x,?y,???x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?
44?222?2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值1当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值
0,（Ⅱ）设C（x0，y0），B(0,?1)F1?3?? 由BF??CF得
11x02，又x0?,y0???y02?1 所以有??4???7(??1?0舍去) ?2?6??7?03(1??)1解得
（Ⅲ）因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴?PBF1周长≤4＋|BF1|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，?PBF1周长最大，最例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0) (1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2(其中O为原点)，求k的取值范围。
大值为8． |BF2|
＋
x2y2例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为2?2?1 (a?0,b?0).由已知得a?3,c?2,再由a2?b2?22,得b2?1.abx2?y2?1. 故双曲线C的方程为3x2?y2?1得 (1?3k2)x2?62kx?9?0. （Ⅱ）将y?kx?2代入32??1?3k?0,由直线l与双曲线交于不同的两点得?
222????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.122即k?且k?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则
362k?9xA?xB?,xx?,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2, AB1?3k21?3k2而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?962k3k2?7?(k?1)?2k?2?2.于是221?3k1?3k3k?13k2?7?3k2?91?k2?3. ② ?2,即?0,解此不等式得2233k?13k?11332由①、②得 ?k?1. 故k的取值范围为(?1,?)?(,1).
3332
x2y263例5．已知椭圆2?2（a＞b＞0）的离心率e?，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
ab32（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直