1.1.2 余弦定理
项内容 目 修改课 1.1.2 余弦定理（共 1 课时） 题 创新 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算教二、过程与方法 目2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 标 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学重教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 、 2.余弦定理在解三角形时的应用思路难3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 与学 1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论点 教投影仪、幻灯片两张 学 第一张:课题引入图片(记作准 A
备 如图(1),在Rt△ABC中,有A+B=C222 问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍222 222222形式一: a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB,c=a+b-2abcosC, b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2形式二:cosA=,cosB=,cosC= 2bc2ca2ab导入新课 师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学教学过 程 在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A 的平面几何的有关知识来研究这一问题 师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解 解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得 A2=CD2+BD2
∵在Rt△ADC中,CD=B-AD222222 2又∵BD=(C-AD)=C-2C·AD+AD, ∴A=B-AD+C-2C·AD+AD=B+C-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COsA,∴a=b+c-2abcosA.222222222222 2类似地可以证明b=c+a-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC 222另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a+b=c也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一: a2=b2+c2-2bccosA, b2=c+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. 形式二 b2?c2?a2cosA?2bcc2?a2?b2cosB?2caa2?b2?c2cosC?2ab 222师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c=a+b,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究