直线与方程测试题(含答案)

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第三章 直线与方程测试题

一.选择题(每小题5分,共12小题,共60分)

1.若直线过点(3,-3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为( )

A.y=3x-6 B. y=

333x+4 C . y=x-4 D. y=x+2 3332. 如果A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上,那么k的值是( )。

A. -6 B. -7 C. -8 D. -9

3. 如果直线 x+by+9=0 经过直线 5x-6y-17=0与直线 4x+3y+2=0 的交点,那么b等于( ).

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

220

4. 直线 (2m-5m+2)x-(m-4)y+5m=0的倾斜角是45, 则m的值为( )。 A.2 B. 3 C. -3 D. -2

5.两条直线3x?2y?m?0和(m2?1)x?3y?2?3m?0的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.与m有关

5*6.到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合是( )

A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0

C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0

7直线x?2y?b?0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( ) A.??2,2? B.???,?2???2,??? C.??2,0???0,2? D.???,???

*8.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是( )

2233A.- B. C.- D. 3322213 c+29.两平行线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为 ,则 的值是( )

13aA .±1 B. 1 C. -1 D . 2

10.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0

**11.点P到点A′(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于这样的点P共有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 *12.若y=a|x|的图象与直线y=x+a(a>0)

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2

,2

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有两个不同交点,则a的取值范围是 ( ) A.0<a<1 B.a>1 C.a>0且a≠1 D.a=1

二.填空题(每小题5分,共4小题,共20分)

13. 经过点(-2,-3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是 ; 或 。

*14. 直线方程为(3a+2)x+y+8=0, 若直线不过第二象限,则a的取值范围是 。 15. 在直线x?3y?0上求一点,使它到原点的距离和到直线x?3y?2?0的距离相等,则此点的坐标为 .

22

*16. 若方程x-xy-2y+x+y =0表示的图形是 。 三.解答题(共6小题,共70分)

17.(12分)在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为:x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线方程为:y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和C的坐标.

*18.已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1.

(1)求证:无论a为何值,直线总过第一象限; (2)为使这条直线不过第二象限,求a的取值范围.

19.已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3时,求 的最值.

20.已知点P(2,-1).

(1)求过P点与原点距离为2的直线l的方程;

(2)求过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?

(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

y-32

**21.已知集合A={(x,y)| =a+1},B={(x,y)|(a-1)x+(a-1)yx-2=15},求a为何值时,A∩B=?.

**22.有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进 出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水, 不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x (分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟 后只放水不进水,求y与x的函数关系.

yxy 30 · B 2 0 · A · 10 · · · · 10 20 30 40 O x 答案与提示

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一.选择题

1—4 CDDB 5—8 BDCA 9—12 ADCB 提示:

1. 据直线的点斜式该直线的方程为y-(-3)=tan30(x-3),整理即得。

0

2. 由kAC=kBC=2得D

3. 直线 5x-6y-17=0与直线 4x+3y+2=0 的交点坐标为(1, -2), 代入直线x+by+9=0,得b=5

2

2m-5m+2

4. 由题意知k=1,所以=1,所以m=3或m=2(舍去) 2

m-43m+1

5. 第一条直线的斜率为k1=-,第二条直线的斜率为k2=>0所以k1≠k2.

23

2

5|2x+y+1|56. 设此点坐标为(x,y),则=,整理即得。 22

2+1

b1b1212

7. 令x=0,得y=,令y=0,x=-b,所以所求三角形面积为|||b|=b,且b≠0,b<1,所以

22244b<4,所以b∈??2,0???0,2?.

2

8. 由题意,可设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M2k-6-6k+1( +1,1),N( , ). kk-1k-12又因为MN的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=- . 33-2-1

9. 由题意 = ≠ ,∴a=-4,c≠-2.

6ac则6x+ay+c=0可化为3x-2y+ =0.

2

| +1|2213

由两平行线距离得 = ,得c=2或c=-6,

1313 ∴

ccc+2

=±1. a10.直线x-2y+1=0与x=1的交点为A(1,1),点(-1,0)关于x=1的对称点为B(3,0)也在所求直线上,

1

∴所求直线方程为y-1=- (x-1),

21

即x+2y-3=0,或所求直线与直线x-2y+1=0的斜率互为相反数,k=- 亦可得解.

211.由题意知

(x-1)+y =|x+1|且

222 |x-y| = , 22

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?y=4x ?y=4x ?y=4x 所以? ?? ①或? ②,

?|x-y|=1?x-y=1?x-y=-1

222

解得,①有两根,②有一根.

12..如图,要使y=a|x|的图象与直线y=x+a(a>0)有两个不同的交点,则a>1.

二.填空题

13.x+y+5=0或3x-2y=0 14.a≤-

y y=a|x| y=x-a 31312 15.(?,)或(,?) 35555O x 16.两条直线.

提示:

13.注意经过原点的直线在x轴、y轴上的截距均为零

14.直线在y轴上的截距为-8,直线不过第二象限,画图可知,直线的斜率为正或0,即 -(3a+2)≥0,所以a≤-

2。 32

2

|-3y0+3 y0-2|1

,可得y=± 0225 1+3

22

16.x-xy-2y+x+y =(x+y)(x-2y)+(x+y)= (x+y)(x-2y+1)=0,所以表示两条直线x+y=0,x-2y+1=0. 三.解答题

15.设此点坐标(-3y0, y0),由题意(-3y0)+ y0=

?x?2y?1?02?0?1,∵x轴为∠A的平分17.解:由? ∴A(-1,0) ,又KAB=

1?(?1)y?0?线,故KAC=-1,∴AC:y=-(x+1) ,∵BC边上的高的方程为:x-2y+1=0 ,∴KBC=-2 ∴

BC:y-2=-2(x-1),即:2x+y-4=0 ,由??2x?y?4?0 ,解得C(5,-6)。

?x?y?1?018.解:(1)将方程整理得

a(3x-y)+(-x+2y-1)=0,对任意实数a,直线恒过3x-y=0与x-2y+1=0的交

13

点( , ),

5513

∴直线系恒过第一象限内的定点( , ),

55

即无论a为何值,直线总过第一象限. 1

(2)当a=2时,直线为x= ,不过第二象限;当a≠2时,直线方程化为

53a-11y= x- ,不过第二象限的充要条件为

a-2a-2

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3a-1??a-2 >0

?a>2,综上a≥2时直线不过第二象限. ?1

?? a-2 ≤0

19.思路点拨:本题可先作出函数y=8-2x(2≤x≤3)的图象, 把 看成过点(x,y)和原点的直线的斜率进行求解. 解析:如图,设点P(x,y),因为x,y满足2x+y=8, 且2≤x≤3,所以点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B 两点的坐标分别是A(2,4),B(3,2).

y2

因为 的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB= ,

x3

y 4 · A 3 P · ·2 · B 1 · · · · ·1 2 3 4 x O yxy2所以 的最大值为2,最小值为 . x3

20.解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)垂直于x轴的直线满足条件. 此时l的斜率不存在,其方程为x=2.

若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0.

|-2k-1|3

由已知,得 =2,解得k= .

4k2+1 此时l的方程为2x-4y-10=0.

综所,可得直线l的方程为x=2或2x-4y-10=0.

(2)作图可证过P点与原点O距离最大的佳绩是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得

1

k1kOP=-1,所以k1= =2.

kOP由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2), 即2x-y-5=0.

|-5|

即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为 =5 .

5 (3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超达5 的直线,因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线.

21.思路点拨:先化简集体A,B,再根据A∩B=?,求a的值. 自主解答:集合A、B分别为xOy平面上的点集;直线l1:(a+1)x-y-2a+1=0(x≠2),l2:(a2-1)x+(a-1)y-15=0.

2

?(a+1)(a-1)=(-1)·(a-1)由?,解得a=±1. 2

? -1×(-15)≠(a-1)(-2a-1)

①当a=1时,显然有B=?,所以A∩B=?; ②当a=-1时,集合A为直线y=3(x≠2),

15

集合B为直线y=- ,两直线平行,所以A∩B=?;

2

③由l1可知(2,3)?A,当(2,3)∈B时,即2(a-1)+3(a-1)-15=0,

55

可得a= 或a=-4,此时A∩B=?.综上所述,当a=-4,-1,1, 时,

22

2

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