专题2.1 函数及其表示
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
知识点1．函数与映射的概念
(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
知识点2．函数的表示方法
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 知识点3．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 知识点4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
知识点5．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
考点一 求函数的定义域
【典例1】【2019年高考江苏】函数y?7?6x?x2的定义域是 . 【答案】 [-1,7 ]
【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
由已知得7?6x?x2?0,即x2?6x?7?0，解得?1?x?7，故函数的定义域为[-1,7 ]. 【方法技巧】
(1)求具体函数y＝f(x)的定义域
(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：
①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；
②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域． 【变式1】 (2018·江苏高考)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________． 【答案】{x|x≥2}
【解析】由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2， 满足x>0，
所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}． 考点二 求函数的解析式
【典例2】（2019·河北唐山一中模拟）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
11
【答案】f(x)＝x2＋x，x∈R.
22【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
??2a＋b＝b＋1，
所以?
??a＋b＝1，
1解得a＝b＝. 2
11
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
22
【方法技巧】函数解析式的常见求法
(1)配凑法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子，然后用x将h(x)代换．
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(3)换元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，往往可设h(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．
1?
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f??x?(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【变式2】（2019·山西省阳泉一中模拟）已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 2x1－2x【答案】f(x)＝，x∈R.
3【解析】由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x1－2x. 2x1－2x即f(x)＝.
3
2x1－2x
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
3考点三 分段函数求值
1?x???，x≤0，?1??＝________. 3?? 【典例3】（2019·吉林辽源一中模拟）已知f(x)＝?则f?f??9????log3x，x>0，
＋
－
＋
－
＋
－
－＋
－
【答案】9
1?1
【解析】∵f?＝log3＝－2， ?9?9
?1??＝f(－2)＝?1?－2＝9. ∴f?f??9???3?
【方法技巧】根据分段函数的解析式求函数值：首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
??x?3,?x?9?【变式3】已知f?x???，则f(7)＝__________________________________.
??f?x?4???,?x?9??f?【答案】6 【解析】∵7＜9，
∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8＜9，
∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6.
考点四 求参数或自变量的值(范围)
?2x，x≤0，?
【典例4】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝?则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( )
??1，x>0，
－
A．(－∞，－1] C．(－1,0) 【答案】D 【解析】
B．(0，＋∞) D．(－∞，0)
??x＋1≤0，－＋－
方法一：①当?即x≤－1时，f(x＋1) ?2x≤0，? 解得x<1.因此不等式的解集为(－∞，－1]． ??x＋1≤0， ②当?时，不等式组无解． ??2x>0 ??x＋1>0，－ ③当?即－1 ?2x≤0，???x＋1>0，④当?即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意． ?2x>0，? 综上，不等式f(x＋1)