2011-12第一学期概率论与数理统计试题标准答案
一．（12分）设甲,乙,丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2：5：3，而三个地区感染此病的比例分别为 6%,4%,3%,现从这三个地区任意抽取一个人，问 (1) 此人感染此病的概率是多少;
(2) 如果此人感染此病,此人选自乙地区的概率是多少？
答 设A1表示甲地区的人, A2表示乙地区的人, A3表示丙地区的人
B表示某人感染流行病
P(A1)?0.2,P(A2)?0.5,P(A3)?0.3
P(BA1)?0.06,P(BA2)?0.04,P(BA3)?0.03, -----------------------------------2分
则由全概率公式
P(B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A3B)
?P(BA1)P(A1)?P(BA2)P(A2)?P(BA3)P(A3)?0.2*0.06?0.5*0.04?0.3*0.03?0.041- ------------------------------------3分
-----------------------------------------2分 则由贝叶斯公式
P(A2B)?P(A2B)P(A2B)?P(B)P(A1B)?P(A2B)?P(A3B)
?P(BA2)P(A2)P(BA1)P(A1)?P(BA2)P(A2)?P(BA3)P(A3)--------------------------------------------3分
?0.5*0.04?0.4878 -------------------------------------------------2分
0.2*0.06?0.5*0.04?0.3*0.03
二、（14分）设随机变量X解： 当 当
~N?0,?2?，求 Y?X 的密度函数.
y?0 时，FY?y??0； …………… 2分
y?0 时，FY?y??P?Y?y?
?P?X?y?
…………… 4分
?P??y?X?y??y??y??????????
???????y??2????1
??? …………… 4分
故 Y?X 的密度函数
??fY(y)????2?y????,y?0????
0,y?0??????21???0ey22?2,,y?0……… 4分
y?0三、（18分）设随机向量（X, Y）的联合密度为
?2x, 0?x?1,0?y?1,
f(x,y)???0, 其他.(1) 计算P(Y > X )；
(2) 求X, Y的概率密度fX(x)，fY (y); (3) 判断X与Y是否相互独立，说明理由； (4) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z). 解：（1）
P(Y?X)?（2）
?y?x??1f(x,y)dxdy??dx?2xdy?.0x311……………. 4分
fX(x)??f(x,y)dy??
1当0?x?1时，fX(x)??2x dy?2x.0
?2x,0?x?1, ………………4分
fX(x)???0,其他.fY(y)??f(x,y)dx??10?
fY(y)??2x dx?1,0?y?1.?1,0?y?1, ……………… 4分
fY(y)???0,其他.（3）因为f(x,y)?fX(x)fY(y),a.e.，所以X与Y相互独立. …………….. 2分 （4）
fZ(z)??f(x,z?x)dx.???
z当0?z?1时，fZ(z)??2xdx?z2,01z?1
当1?z?2时，fZ(z)??2xdx?2z?z2.?z2, 0?z?1, ……………….4分
?fZ(z)??2z?z2, 1?z?2,?0, 其他.?
四. （18分）设随机变量X服从指数分布, 且E(X)=2. 随机变量Y服从区间[1,7]上的均匀分布, 随机变量Z服从二项分布B(16,1/4), 且?XY?(1)求E(X-2Y+Z); (2) 求Var(X-2Y+Z).
解: 由题设条件得到E(X)=2, Var(X)=4;
……………2分 E(Y)=4, Var(Y)=3;
……………2分 E(Z)=4, Var(Z)=3.
……………2分 (1)
E(X?2Y?Z)?E(X)?2E(Y)?E(Z)?2?2?4?4??2. ……………3分
111,?XZ?,?YZ??. 222Var(X?2Y?Z)?Var(X)?Var(?2Y)?Var(Z)?2cov(X,?2Y)?2cov(X,Z)?2cov(Z,?2Y)(2)
?Var(X)?4Var(Y)?Var(Z)?4cov(X,Y)?2cov(X,Z)?4cov(Z,Y)
………………4分
?Var(X)?4Var(Y)?Var(Z)?4?XYVar(X)?Var(Y)?2?XZVar(X)?Var(Z)?4?ZYVar(Z)?Var(Y)