北理工11-12年概率论试题&标准答案

2011-12第一学期概率论与数理统计试题标准答案

一.(12分)设甲,乙,丙三个地区爆发了某种流行病,三个地区的总人数比为2:5:3,而三个地区感染此病的比例分别为 6%,4%,3%,现从这三个地区任意抽取一个人,问 (1) 此人感染此病的概率是多少;

(2) 如果此人感染此病,此人选自乙地区的概率是多少?

答 设A1表示甲地区的人, A2表示乙地区的人, A3表示丙地区的人

B表示某人感染流行病

P(A1)?0.2,P(A2)?0.5,P(A3)?0.3

P(BA1)?0.06,P(BA2)?0.04,P(BA3)?0.03, -----------------------------------2分

则由全概率公式

P(B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A3B)

?P(BA1)P(A1)?P(BA2)P(A2)?P(BA3)P(A3)?0.2*0.06?0.5*0.04?0.3*0.03?0.041- ------------------------------------3分

-----------------------------------------2分 则由贝叶斯公式

P(A2B)?P(A2B)P(A2B)?P(B)P(A1B)?P(A2B)?P(A3B)

?P(BA2)P(A2)P(BA1)P(A1)?P(BA2)P(A2)?P(BA3)P(A3)--------------------------------------------3分

?0.5*0.04?0.4878 -------------------------------------------------2分

0.2*0.06?0.5*0.04?0.3*0.03

二、(14分)设随机变量X解: 当 当

~N?0,?2?,求 Y?X 的密度函数.

y?0 时,FY?y??0; …………… 2分

y?0 时,FY?y??P?Y?y?

?P?X?y?

…………… 4分

?P??y?X?y??y??y??????????

???????y??2????1

??? …………… 4分

故 Y?X 的密度函数

??fY(y)????2?y????,y?0????

0,y?0??????21???0ey22?2,,y?0……… 4分

y?0三、(18分)设随机向量(X, Y)的联合密度为

?2x, 0?x?1,0?y?1,

f(x,y)???0, 其他.(1) 计算P(Y > X );

(2) 求X, Y的概率密度fX(x),fY (y); (3) 判断X与Y是否相互独立,说明理由; (4) 求Z = X+Y的概率密度fZ(z). 解:(1)

P(Y?X)?(2)

?y?x??1f(x,y)dxdy??dx?2xdy?.0x311……………. 4分

fX(x)??f(x,y)dy??

1当0?x?1时,fX(x)??2x dy?2x.0

?2x,0?x?1, ………………4分

fX(x)???0,其他.fY(y)??f(x,y)dx??10?

fY(y)??2x dx?1,0?y?1.?1,0?y?1, ……………… 4分

fY(y)???0,其他.(3)因为f(x,y)?fX(x)fY(y),a.e.,所以X与Y相互独立. …………….. 2分 (4)

fZ(z)??f(x,z?x)dx.???

z当0?z?1时,fZ(z)??2xdx?z2,01z?1

当1?z?2时,fZ(z)??2xdx?2z?z2.?z2, 0?z?1, ……………….4分

?fZ(z)??2z?z2, 1?z?2,?0, 其他.?

四. (18分)设随机变量X服从指数分布, 且E(X)=2. 随机变量Y服从区间[1,7]上的均匀分布, 随机变量Z服从二项分布B(16,1/4), 且?XY?(1)求E(X-2Y+Z); (2) 求Var(X-2Y+Z).

解: 由题设条件得到E(X)=2, Var(X)=4;

……………2分 E(Y)=4, Var(Y)=3;

……………2分 E(Z)=4, Var(Z)=3.

……………2分 (1)

E(X?2Y?Z)?E(X)?2E(Y)?E(Z)?2?2?4?4??2. ……………3分

111,?XZ?,?YZ??. 222Var(X?2Y?Z)?Var(X)?Var(?2Y)?Var(Z)?2cov(X,?2Y)?2cov(X,Z)?2cov(Z,?2Y)(2)

?Var(X)?4Var(Y)?Var(Z)?4cov(X,Y)?2cov(X,Z)?4cov(Z,Y)

………………4分

?Var(X)?4Var(Y)?Var(Z)?4?XYVar(X)?Var(Y)?2?XZVar(X)?Var(Z)?4?ZYVar(Z)?Var(Y)

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